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Analisi Matematica II - 25 febbraio 2016 Cognome: Nome: Matricola: Domanda 1 . Enunciare il teorema della divergenza, scrivendo chiaramente tutte le ipotesi. Domanda 2 . Si consideri una funzione f : Rn→ R. 1. Definire il differenziale in un punto. 2. Dimostrare che, se f ` e differenziabile in un punto, allora ` e derivabile in ogni direzione nello stesso punto. Domanda 3 . Sia dato un sistema di equazioni differenziali lineari autonomo y′ = f(y) tale che f∈ C 1(RN) and f(0) = 0. 1. Definire la stabilit` a asintotica secondo Liapunov dell’origine. 2. Enunciare una condizione sufficiente per avere tale stabilit` a. Esercizio 1 . Sia a∈ R e ra : [0, log 2]→ R2 definita da ra(t) = (et, eat). 1. Determinare a in modo che la lunghezza della curva sia 1. 2. Per a = 2 determinarne il versore tangente e normale. 3. Per a = 1 trovare la parametrizzazione rispetto all’ascissa curvilinea. Esercizio 2 . Determinare punti di massimo e minimo (relativi e assoluti) della funzione f(x, y) = xey sul bordo del quadrato di vertici {(−1,−1), (−1, 1), (1, 1), (1,−1)}. Esercizio 3 . Sia F : R→ R il prolungamento continuo di f(x) =−x log|x|. Data l’equazione x′′ = F (x), si determini l’energia potenziale e se ne disegni il grafico. Si stabilisca se l’equazione ammette punti stazionari, orbite periodiche, omocline, eterocline o di altro tipo. Si tracci il grafico approssimativo di alcune orbite. Esercizio 4 . Si trovi l’integrale generale dell’equazione differenziale y′ = y− 4x3 2y− x .