26 04 17 svolto

Page 1

Fondamenti di Automatica Prof. Luca Bascetta Soluzioni della prima prova scritta intermedia 26 aprile 2017 ESERCIZIO 1 E’ assegnato il sistema dinamico a tempo continuo, lineare e invariante con ingresso u(t) e uscita y(t):    ˙x1(t) =−2x1(t) + 3x2(t) ˙x2(t) =−20x2(t) +u(t) ˙x3(t) = 3x3(t) y(t) = 2x1(t) 1. Si calcoli la funzione di trasferimento del sistema. Trasformando con Laplace le equazioni di stato e di uscita del sistema assegnato:    sX1(s) =−2X1(s) + 3X2(s) sX2(s) =−20X2(s) +U(s) sX3(s) = 3X3(s) Y (s) = 2X1(s) Per eliminazione, si arriva a calcolare il rapporto tra la Trasformata di Laplace dell’uscita e quella dell’ingresso (con stato iniziale nullo), cio` e la funzione di trasferimento del sistema: G(s) = 6 (s + 2)(s + 20) Si osservi che G(s) non ha zeri e ha due poli certamente a parte reale negativa in quanto il polinomio al denominatore ha tutti i coefficienti positivi. In particolare, calcolando esplicitamente i poli, essi risultano s1 =−2 e s2 =−20. 2. Si disegni, in un grafico, l’andamento qualitativo dell’uscita (forzata) all’ingresso u(t) =sca(t). La risposta (forzata) allo scalino del sistema con la funzione di trasferimento G(s) appena calcolata, parte da t = 0 con derivata prima nulla e concavit` a positiva per poi assestarsi, dopo un transitorio, al valore di regimeµ =G(0) = 3 20. Inoltre, essendo le due costanti di tempo dei poli molto differenti tra loro, ` e lecito stimare la durata del transitorio basandosi sulla costante di tempo maggiore tra le due, cio` eτdominante = 0.5s. Il tempo di assestamento sar` a quindita∼= 4.6τdominante = 2.3s. 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 0 0.05 0.1 0.15 Step Response Time (seconds) Amplitude 3. Si dica, giustificando la risposta, se il movimento libero dello stato del sistema tende a zero qualunque sia lo stato…