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Analisi Matematica [083475], esame del 28/01/2012 Nome e cognome . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Matricola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1. Determinare il polinomio di Mac Laurin del secondo ordine della funzione f (x) = sin x cos x 1 x e poi stabilire se in un intorno di x = 0 il grafico di f sta sopra o sotto la sua tangente in x = 0. Poiché sin x = x + o(x2); cos x = 1 x2 2 + o(x2); (1 x) 1 = 1 + x + x2 + o(x2); abbiamo f (x) = [ x + o(x2)][1 x2 2 + o(x2)][1 + x + x2 + o(x2)] = x + x2 + o(x2): La retta tangente al grafico di f in x = 0 risulta: y = t(x) := x : Perciò in un intorno di x = 0 (escluso x = 0 stesso) vale f (x) t(x) = x2 + o(x2)  x!0 x2 > 0 e quindi f (x) > t(x); il grafico della funzione sta quindi sopra la tangente. 2. Si calcoli il seguente limite: lim x!0 log(1 + 3x2) e2x 1 2x : Per il numeratore vale la stima asintotica log(1 + 3x2)  x!0 3x2 , mentre al denominatore si può sostituire l’esponenziale col suo sviluppo di Mac–Laurin al second’ordine. Si ottiene infine: lim x!0 log(1 + 3x2) e2x 1 2x = lim x!0 3x2 4x2 2 = 3 2 : 3. Si calcoli l’integrale ∫ x4(ln x5)2dx: Con la sostituzione t = x5 e integrando due volte per parti si ha ∫ x4(ln x5)2dx = 1 5 ∫ ln2 tdt = 1 5 t ln2 t 1 5 ∫ t
2 ln t t dt = 1 5 t ln2 t 2 5 ∫ ln tdt = 1 5 t ln2 t 2 5 t ln t + 2 5 ∫ t t dt = 1 5 t ln2 t 2 5 t ln t + 2 5 t + cost: Da cui abbiamo ∫ x4(ln x5)2dx = 1 5 x5 ln2 x5 2 5 x5 ln x5 + 2 5 x5 + cost: 4. Si calcoli l’integrale ∫ 1=2 0 1 1 + 4x2 dx: Con la sostituzione t = 2x abbiamo ∫ 1=2 0 1 1 + 4x2 dx = 1 2 ∫ 1 0 1 1 + t2 dt = 1 2 arctan(t)j1 0 =  8 : 5. Si Studino il carattere delle serie +1∑ n=0 nn n! ; +1∑ n=0 ( 1)n arctan ( 1 n + 1 ) : Per quanto riguarda la prima serie, applicando il criterio del…