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Analisi Matematica [083475], esame del 28/02/2012 Nome e cognome . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Matricola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1. Si consideri la funzione f (x) = x2− 1− e1−x2 . Si determini il suo dominio di definizione D(f ) = R. Si determinino eventuali parità, disparità e periodicità della funzione. La funzione è pari, cioèf (x) = f (−x). Si determinino i valorif (0), f (1) e f (2), precisando se sono positivi o negativi (la discussione completa del segno della funzione non è richiesta). f (0) =−1− e < 0 , f (1) =−1 < 0 , f (2) = 3− e−3 > 0 . Si calcolino i limiti agli estremi del dominio e gli eventuali asintoti. Per quanto riguarda i limiti abbiamo: lim x→±∞ (x2− 1− e1−x2 ) = +∞. Poichè lim x→±∞ f (x) x = lim x→+∞ x2− 1− e1−x2 x =±∞, non ci sono asintoti obliqui. Si studi la derivata prima dif. f′(x) = 2 x + 2xe1−x2 = 2x(1 + e1−x2 ) , che si annulla inx = 0, è negativa perx < 0 ed è positiva perx > 0. Dunque x = 0 è un punto di minimo assoluto. Si calcoli la derivata secondaf′′(x) e il suo limite perx→ +∞ (lo studio completo della derivata seconda non è richiesto). f′′(x) = 2(1 + e 1−x2 − 2x2e1−x2 ) −→ x→+∞ 2 . Dato che il suo limite perx→ +∞ risulta positivo, la derivata seconda dovrà essere positiva in un intorno di +∞, dunque in tale intorno la funzione sarà convessa. Essendo la funzione sicuramente convessa anche in x = 0 (poiché si tratta di un punto di minimo), sembra probabile che la funzione sia convessa su tutto il suo dominio (cioé senza flessi) e quindi come tale va disegnata in base alle informazioni in nostro possesso. Si segnala a titolo di curiosità che, invece, la funzione presenta due flessi inR+! Infatti vale f′′′(x) = 4 xe1−x2 (2x2− 3) e perciò f′′ ha un minimo perx =…