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Es. 1 Es. 2 Es. 3 Totale Analisi e Geometria 2 Docente: 28 giugno 2018 Cognome: Nome: Matricola: Ogni risposta deve essere giustificata. Gli esercizi vanno svolti su questi fogli nello spazio sotto il testo. I fogli di brutta non devono essere consegnati. Durante la prova non ` e consentito l’uso di libri, quaderni, calcolatrici e apparecchiature elettroniche. Esercizio 1. Nel piano cartesiano si consideri l’ellisse E di equazione 7x2− 18xy + 39y2 + 16x− 48y = 0. Si determinino il massimo e il minimo assoluti della funzione f(x,y ) =x− 3y sull’insieme {(x,y )∈ R2 : 7x2− 18xy + 39y2 + 16x− 48y≤ 0} dei punti che sono interni all’ellisse o che giacciono sul bordo dell’ellisse. ♥ 1 di 3 ♥ Esercizio 2. Sia dato il campo vettoriale ⃗Fa(x,y,z ) = ( x + 1 x ) ⃗i +az⃗j + ( y + 1 z ) ⃗k con a∈ R. 1. Stabilire per quali valori di a∈ R il campo ⃗Fa ` e irrotazionale nel suo dominio; per tali valori di a determinare quindi un potenziale di ⃗Fa nella regione D ={(x,y,z )∈ R3 : x >0,z > 0} e calcolare il lavoro del campo ⃗Fa lungo la curva descritta dalle equazioni parametriche γ(t) = (t,t 2,t 3) al variare di t nell’intervallo [1, 2]. 2. Data la porzione di superficie regolare parametrizzata S :    x(u,v ) =u cos(v) y(u,v ) =u sin(v) z(u,v ) =u2 (u,v )∈ [1, 2]× [π 6,π 3 ] orientata in modo che la normale alla superficie formi un angolo ottuso con ⃗k, calcolare la circuitazione di ⃗F0 = ( x + 1 x ) ⃗i + ( y + 1 z ) ⃗k lungo il bordo di S. ♥ 2 di 3 ♥ ♥ 3 di 3 ♥ Esercizio 3. Sia data la funzione f(x,y ) =    x4 + 3y4 x2 +y2 se (x,y )̸= (0, 0) 0 se ( x,y ) = (0, 0) . Stabilire se f ha derivate parziali continue in (0, 0). Verificare che (0, 0) ` e punto critico dif: si tratta di un punto di massimo o minimo locale? ♥ 4 di 3 ♥ giovedì 3 maggio 2018 14:39 Nuova sezione 1 Pagina 1