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Analisi Matematica II - 28 giugno 2016 Cognome: Nome: Matricola: Nota bene: Leggere bene le domande e rispondere esclusivamente a quanto ` e chiesto. Domanda 1 . Enunciare e dimostrare il teorema di Fermat in Rn, n≥ 2. Domanda 2 Enunciare il criterio di Weierstrass per la convergenza di una serie di funzioni. Domanda 3 Enunciare il teorema delle contrazioni, definendo tutti i concetti che appaiono nella definizione. Analisi Matematica II - 28 giugno 2016 Cognome: Nome: Matricola: Nota bene: Leggere bene il testo degli esercizi e rispondere esclusivamente a quanto ` e chiesto. Scrivere chiaramente le risposte e i passaggi principali. Esercizio 1 . Ricordando che log(1 + t) = t− t2/2 + t3/3 + . . . e cos t = 1− t2/2 + t4/24 + . . ., si calcoli lo sviluppo di Taylor in (0 , 0) al quarto ordine di f(x, y) = log(cos(x− y))− x e si calcoli l’equazione del piano tangente nel punto (0 , 0, 0). Soluzione. log(cos(x− y))− x = log(1− (x− y)2/2 + (x− y)4/24 + o((x− y)5))− x =−(x− y)2/2 + (x− y)4/24 + o((x− y)5) − (−(x− y)2/2 + (x− y)4/24 + o((x− y)5))2/2− x =−(x− y)2/2 + (x− y)4/24− (x− y)4/4− x + o((x2 + y2)2) =−x− x2/2 + xy− y2/2− 5/24(x− y)4 + o((x2 + y2)2) Dallo sviluppo di Taylor segue che l’equazione del piano tangente ` e: z =−x . Esercizio 2 . Calcolare l’integrale generale di    x′ =−2x− 2y y′ = x + y z′ = x Soluzione. Ponendo w = x + y e sommando le prime due equazioni abbiamo: w′ =−w, quindi w(t) = x(t) + y(t) = c1e−t. Dalla prima equazione x′ =−2w =−2c1e−t, quindi x(t) = 2c1e−1 + c2 Dalla seconda equazione y′ = c1e−t, quindi y(t) =−c1e−t + c3. Infine z′ = 2c1e−1 + c2 =−2c1e−1 + c2t + c3. Esercizio 3 . Stabilire se sono verificate le ipotesi del teorema di esistenza e unicit` a in piccolo e in grande per l’equazione differenziale ordinaria y′ = (1− ex+y)e−x−y . Trovare…