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Es. 1 Es. 2 Es. 3 Es. 4 Totale Analisi e Geometria 2 – Parte B Appello Completo Docente: 29 gennaio 2024 Cognome: Nome: Matricola: La prova dura 105 minuti. Ogni risposta deve essere opportunamente giustificata. La soluzione degli esercizi deve essere riportata su questi fogli, di cui potete utilizzare anche il retro. I fogli protocollo di brutta non devono essere consegnati. Durante la prova non è consentito l’uso di libri, quaderni, calcolatrici programmabili e telefoni cellulari. Esercizio 1. Sia data la matrice 1 k 0 Ak := 2 1 0 , 0 0 k dove k ∈ R è un parametro. 1.1 Determinare il valore k0 del parametro per cui esiste una base ortonormale di R3 formata da autovettori di Ak0 e trovare tale base. 1.2 Sia k0 il valore del parametro trovato nel punto precedente. La forma quadratica Q(x) = xT Ak0 x è definita positiva, definita negativa, o indefinita? 1.3 Sia Lk : R3 → R3 l’applicazione lineare definita da L(x) = Ak x. Per quali valori del parametro k l’applicazione Lk manda la retta r di equazioni y − 3x = z = 0 in se stessa (questa condizione significa che se x = (x, y, z) appartiene alla retta r , anche Lk (x) appartiene a r) ? ♡ 1 di 4 ♡
Esercizio 2. 1. Si consideri l’equazione differenziale y ′ (t) = y(t). Si tratta di un’equazione differenziale lineare? Se è lineare, i suoi coefficienti sono costanti? Si determini l’integrale generale dell’equazione. 2. Si determinino l’integrale generale dell’equazione differenziale y ′ (t)−y(t) = t cos(t) e la soluzione di tale equazione che verifica la condizione iniziale y(0) = 7. ♡ 2 di 4 ♡
Esercizio 3. Si consideri l’insieme D = (x, y) ∈ R2 |x2 + y 2 + xy ≤ 1 il cui bordo ∂D rappresenta un’ellisse con assi paralleli alle bisettrici dei quadranti, e si consideri la funzione f (x, y) = x2 + y 2 . 1. Dopo averne giustificato l’esistenza, si determinino massimo a minimo assoluti di f su ∂D. 2. Si dia un’interpretazione geometrica del risultato ottenuto al punto precedente. 3. Esistono massimo a minimo assoluti su D? In caso affermativi li si determinino, giustificando accuratamente la risposta. ♡ 3 di 4 ♡
Esercizio 4. Sia S ⊆ R3 la superficie ey sin(x) 3 2 2 2 S = (x, y, z) ∈ R : x + y ≤ 1 , z = 7x + 4 , x +1 orientata scegliendo il versore normale ⃗n che punta verso l’alto. 1. Determinare il bordo ∂S. 2. Calcolare il flusso attraverso S ZZ ∇ × F⃗ · ⃗n dS , S del rotore del campo vettoriale F⃗ (x, y, z) = (y 2 , 0, 0). ♡ 4 di 4 ♡
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