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Politecnico di Milano Ingegneria Industriale e dell'Informazione Analisi e Geometria 2 Secondo compito in itinere { 29 Giugno 2017 Cognome: Matricola: Nome: Es.1: 6 punti Es.2: 10 punti Es.3: 6 punti Es.4: 11 punti T otale 1. Sia f : R2 ! R la funzione de nita da f (x; y) = 3 √ x2y , per ogni ( x; y) 2 R2 . (a) Calcolare le derivate parziali di f in 0 = (0; 0) . (b) Calcolare la derivata direzionale di f in 0 = (0 ; 0) lungo il versore della bisettrice del primo quadrante che ha componenti positive. (c) Stabilire se f  e differenziabile in 0 = (0; 0) . 2. Sia f : R2 ! R la funzione de nita da f (x; y) = ( x2 + 16y2) e xy : (a) Determinare i massimi e minimi di f sulla curva di equazione x2 + 16y2 = 1 . (b) Determinare i punti critici di f in R2 . (c) Calcolare i massimi e minimi assoluti di f nel dominio Ω = f(x; y) 2 R2 : x2 + 16y2  1g : 3. Sia F il campo vettoriale conservativo in R3 il cui lavoro lungo una curva orientata dall'origine O  (0; 0; 0) al punto P  (x; y; z)  e uguale a 5 xyz + z2 . (a) Determinare il campo F . (b) Calcolare il lavoro del campo F lungo il segmento orientato !P1P2 , dove P1  ( 1; 1; 1) e P2  (1; 1; 1) . 4. Si considerino il campo vettoriale F = (xy; xz; yz) e la porzione della palla sferica di raggio r e centro O  (0; 0; 0) contenuta nel primo ottante data da Ω = f(x; y; z) 2 R3 : x2 + y2 + z2  r2 ; x  0 ; y  0 ; z  0g : (a) Calcolare il rotore e la divergenza di F , e la divergenza del rotore di F . (b) Calcolare il usso del campo F uscente dalla super cie che delimita Ω . Quanto vale tale usso su ciascuna faccia di tale super cie (ossia sulle le tre porzioni dei piani coordinati e sulla porzione di super cie sferica)? Istruzioni. Ogni risposta deve essere giusti cata. Il testo del compito deve essere consegnato insieme alla…