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Politecnico di Milano Analisi Matematica II – 30 giugno 2015 Ing. Chimica e Ing. dei Materiali Seconda prova in itinere –1a PARTE Cognome: Nome: c⃝ I seguenti quesiti e il relativo svolgimento sono coperti da diritto d’autore; pertanto essi non possono essere sfruttati a fini commerciali o di pubblicazione editoriale. Ogni abuso sarà perseguito a termini di legge dal titolare del diritto • Ogni risposta va scritta nello spazio sotto il quesito e deve sempre essere motivata con calcoli o/e spiegazioni. • Nel caso sia necessario spazio per riscrivere o completare lo svolgimento di un quesito, è possibile utilizzare la facciata bianca sul retro di questo foglio, ma non altri fogli. 1. Calcolare il lavoro del campoF(x,y )=(y,−x) lungo la curva r(t)=(t2,t 3), t∈[0, 1]. Ilvettoretangenteallacurvarisulta r′(t) = (2t, 3t2), percuiillavoroè(applicandoladefinizione): L = ∫ 1 0 F(r(t))· r′(t) dt = ∫ 1 0 (t3,−t2)· (2t, 3t2) dt = ∫ 1 0 −t4 dt = [ −t5 5 ]1 0 =− 1 5 . Si noti che il campo non è conservativo, per cui non sarebbe stato possibile calcolare il lavoro come dif- ferenza di potenziale. 2. Determinare un potenziale diF(x,y ) = (2x 3 , y2 ) . Se U(x,y ) è un potenziale, per definizione ciò significa che∇U(x,y ) = F(x,y ). Allora dovrà essere contemporaneamente: U(x,y ) = ∫ 2x 3 dx = x2 3 +g(y), U(x,y ) = ∫ y2 dy = y3 3 +h(x). Si nota che, ponendog(y)=y3/3 e h(x)=x2/3, le due espressioni trovate vengono a coincidere e quindi costituiscono un potenziale: U(x,y ) = x2 +y3 3 . 3. Calcolare la divergenza del campo vettorialeF(x,y ) =x2y (i + j). In base alla definizione, la divergenza richiesta risulta: div F(x,y ) = div(x2y, x2y) =∂x(x2y) +∂y(x2y) = 2xy +x2. 4. Determinare il volumeV del solido individuato dalle condizioni0≤z≤x2+y2≤1. Inbasealsignificatogeometricodell’integraledoppio,…