30gennaio2017

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Analisi Matematica II - 30 gennaio 2017 Cognome: Nome: Matricola: Nota bene: Leggere bene le domande e rispondere esclusivamente a quanto ` e chiesto. Domanda 1 . Enunciare e dimostrare il criterio di Weierstrass per la convergenza uni- forme di serie di funzioni. Domanda 2 Sia A una matrice quadrata n×n. Definire eAt. Dire, motivando la risposta, se eAt ` e necessariamente invertibile. Domanda 3 Si consideri un sistema autonomo y′ = f(y). Si dica cos’` e un punto di equilibrio stabile secondo Liapunov. Analisi Matematica II - 30 gennaio 2017 Cognome: Nome: Matricola: Nota bene: Leggere bene il testo degli esercizi e rispondere esclusivamente a quanto ` e chiesto. Scrivere chiaramente le risposte e i passaggi principali. Esercizio 1 . Siano F (x,y,z ) = (x3,y 3,z 2), A ={(x,y,z ) : 0 ≤z≤ 1− √ x2 +y2}. Calcolare ∫ ∂A (F,n )dσ. Esercizio 2 . Risolvere il problema di Cauchy    y′ = y t + t2 y y(1) =a e determinare per quali valori del parametro a∈ R la soluzione ` e definita in (0, +∞). Esercizio 3 . Si discuta il comportamento qualitativo delle soluzioni del problema di Cauchy { y′ =t3 cos√y y(0) =a al variare di a∈ [0, +∞).