3febbraio2014

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Analisi Matematica II - 03 febbraio 2014 Cognome: Nome: Matricola: Domanda 1 . Enunciare il teorema della divergenza. Domanda 2 Sia r : [a,b ]→ R3 una curva. 1. Quale condizione deve soddisfare per essere detta regolare? 2. Definire i versori tangente e normale in un punto r(t). Domanda 3 Sia f : Rn→ R. 1. Definire la differenziabilit` a dif in x0∈ Rn. 2. Mostrare che la differenziabilit` a implica la continuit` a. Esercizio 1 . Calcolare il flusso di F (x,y,z ) = (y,x 2y,y 2z) uscente da D ={(x,y,z )∈ R3 : 1≤z≤ 2−x2−y2}. Esercizio 2 . Si consideri il problema    y′′(x) +αy(x) =x2 y(0) = 0 y(1) = 1. 1. Risolverlo per α =−4. 2. Il problema ammette un’unica soluzione (per α =−4)? 3. Trovare un valore di α∈ R per il quale il problema NON ammette alcuna soluzione. Esercizio 3 . 1. Calcolare lo sviluppo di Taylor in (0 , 0) con resto di Peano al quarto ordine di f(x,y ) = √ 4 +xy. 2. Calcolare l’equazione del piano tangente al grafico di nel punto P = (0, 0, 2). Esercizio 4 . Si consideri l’equazione x′′ =xα(1−x2). 1. Elencare i punti di equilibrio e discutere la loro stabilit` a. 2. Studiare le orbite nel piano delle fasi nel caso α = 1. 3. Studiare le orbite nell’intorno dell’origine anche per α = 1/3 e α = 3, disegnandone correttamente la pendenza.