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Analisi Matematica II - 5 novembre 2018 Cognome: Nome: Nota bene: Leggere bene le domande e rispondere esclusivamente a quanto ` e chiesto. Domanda 1 . (3 punti) Si mostri che una funzione differenziabile f : Rn→ R ` e derivabile in ogni direzione e la derivata direzionale ` e data da ∂f (x) ∂v =∇f(x)·v. Domanda 2 (2 punti) Sia A⊂ R2 un aperto, sia r : A→ R3 una funzione C 1(A). Si scriva quale condizione deve soddisfare r affinch´ e sia la parametrizzazione di una superficie regolare. Analisi Matematica II - 05 novembre 2018 Cognome: Nome: Nota bene: Leggere bene il testo degli esercizi e rispondere esclusivamente a quanto ` e chiesto. Scrivere chiaramente le risposte e i passaggi principali. Esercizio 1 . Sia f : R2\{ (0, 0)}→ R definita da fα(x,y ) =|y|α log((1 +x)(1 +y))√ x2 +y2 . 1. per quali α∈ R la funzionefα pu` o essere estesa con continuit` a a una funzionegα : R2→ R? (1 punti). 2. per quali α∈ R esiste ∂gα(0,0) ∂x ? e ∂gα(0,0) ∂y ? (1+1 punti) 3. per quali valori di α∈ R la funzione gα ` e differenziabile in (0, 0)? (1 punto). Soluzione. 1. Osserviamo che fα ` e definita, in realt` a, perα> 0 in Ω1 ={(x,y )∈ R2 : (1 + x)(1 +y)> 0, (x,y )̸= (0, 0)}, mentre per α≤ 0 in Ω2 ={(x,y )∈ R2 : (1 + x)(1 +y)> 0, (x,y )̸= (0, 0),y̸= 0}. Dunque, affinch´ efα sia definita localmente in un intorno dell’origine tranne in (0 , 0), dobbiamo imporre cheα> 0. Per tali valori di α, siamo interessati a stabilire se la funzione fα possa essere prolungata con continuit` a nell’origine. Poich` efα(x, 0) = 0 per ogni α >0, allora fα pu` o essere prolungata con continuit` a in (0, 0) se e solo se lim (x,y)→(0,0) fα(x,y ) = 0. Per (x,y )→ 0 si ha: 0≤|fα(x,y )| =|y|α| log[(1 +x)(1 +y)]|√ x2 +y2 ≤|y|α|x +y +xy|√ x2 +y2 ≤|y|α(|x| +|y| +|xy|)√ x2 +y2 ≤|y|α[ √ x2 +y2 + √ x2 +y2 + 1 2(x2 +y2)]√ x2…