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Analisi Matematica II - 06 settembre 2016 Cognome: Nome: Matricola: Nota bene: Leggere bene le domande e rispondere esclusivamente a quanto ` e chiesto. Domanda 1 . Sia f : R2→ R una funzione di classe C 1. Dimostrare che ` e differenziabile. Domanda 2 Definire, fornendo tutte le ipotesi e dando una motivazione, il flusso di un campo attraverso una superficie. Domanda 3 Enunciare il teorema di esistenza e unicit` a locale per il problema di Cauchy. Analisi Matematica II - 06 settembre 2016 Cognome: Nome: Matricola: Nota bene: Leggere bene il testo degli esercizi e rispondere esclusivamente a quanto ` e chiesto. Scrivere chiaramente le risposte e i passaggi principali. Esercizio 1 . Dopo aver trovato i punti estremanti di F (x,y ) = x3 +y3 sulla circonferenza x2 +y2 = 1, verificare che, in corrispondenza a tali punti, le tangenti alle curve di livello di z =F (x,y ) coincidono con le tangenti al cerchio. Esercizio 2 . Sia A ={(x,y )∈ R2 : y >−x3}, sia F :A→ R2 il campo vettoriale definito da F (x,y ) = ( 3x2 √ x3 +y , 1√ x3 +y ) e sia γ la curva regolare parametrizzata da r : [0,π ]→ R2, r(t) = (cost, 2 + sint). Verificare che il campo ` e conservativo e calcolare ∫ γ (F,T )ds. Esercizio 3 . Calcolare l’integrale generale di    x′ = 2x + 2z y′ = 2x z′ =x + 3z. Determinare la stabilit` a dell’origine.