AG2 20230111 ParteC

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Analisi e Geometria 2 - Parte C Quarto appello Docente: □ M. Boella □ M. Citterio 11 gennaio 2023 Cognome: Nome: Cod. persona: Firma: Durante la prova non ` e consentito l’uso di libri, quaderni, calcolatrici, apparecchiature elettroniche. I fogli di brutta non devono essere consegnati. Tempo massimo a disposizione: 60 minuti. 1. a. Enunciare i principali teoremi sulle equazioni differenziali lineari del secondo ordine. b. Si consideri l’equazione differenziale y′′ − 4y = 16x2e2x2 ; ˆ provare che y(x) = e2x2 ` e una soluzione; ˆ scrivere la soluzione generale dell’equazione differenziale, motivando i passaggi. 1 2. Siano D ⊂ R2 un insieme aperto, F : D → R una funzione e P0 ≡ (x0, y0) un punto interno di D . a. Dare la definizione di continuit` a diF in P0 . b. Dare la definizione di derivabilit` a parziale diF in P rispetto a x . c. Dare la definizione di differenziabilit` a diF in P . d. Che relazione sussiste tra differenziabilit` a e derivabilit` a? Tra differenziabilit` a e continuit` a? Tra derivabilit` a parziale e continuit` a? 2 3. a. Enunciare e dimostrare il teorema di Rouch´ e-Capelli per i sistemi lineari. b. Discutere, senza risolvere, ma motivando i passaggi, il sistema lineare   1 2 3 4 5 1 1 2 3 4 1 3 4 5 6     x1 x2 x3 x4 x5   =   1 1 1   . 3 4. Sia D un sottoinsieme aperto e connesso di R2 e sia F : D → R2 un campo vettoriale di classe C1(D) . a. Dare la definizione di rotore e di irrotazionalit` a di F . b. Scrivere la definizione di conservativit` a diF . c. Stabilire e mostrare la relazione che sussiste tra conservativit` a e irrotazionalit` a diF . d. Stabilire, motivando la risposta, se ` e conservativo il campo vettoriale definito da F(x, y) = 2x x2 + y2 i + 2y x2 + y2 j . 4