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Corso di Statistica - Prof. F abio Zucca Appello 0 - 1 luglio 2017 Nome e cognome: Matricola: c⃝I diritti d’autore sono riservati. Ogni sfruttamento commerciale no n autorizzato sar` a perseguito. 12957 Esercizio 1 In uno studio per la rilevazione dell’inquinamento atmosfe rico si sono registrati le seguenti concentrazioni in µg ·m− 3 2.2 1 .8 3 .1 2 .0 2 .4 2 .0 2 .1 1 .2 Sapendo che ∑ i xi = 16.8 e ∑ i x2 i = 37.3 si proceda allo svolgimento dei seguenti punti. Si suppong a che i campioni provengano da famiglie normali. 1. Stimare la media e la varianza con degli stimatori non dist orti. 2. Sotto l’ipotesi di normalit` a si determini un intervallo di confidenza per la media al 95%. 3. `E plausibile che µ ̸= 2 al 5%? Stimare il P -value fornendone un intervallo. 4. In una seconda zona si misurano 10 concentrazioni ottenen do ∑ i yi = 20 e ∑ i y2 i = 42. Sotto l’ipotesi di omoschedasticit` a, ´ e plausibile l’ipotesiµX > µ Y al 5%? Stimare il P -value fornendone un intervallo. 1 Soluzione. 1. La stima della media si ottiene utilizzando la media campi onaria: ¯x8 = n− 1 ∑n i=0 xi = 8 − 1 ·16.8 = 2 .1. Mentre la varianza campionaria s2 8 = (n − 1)− 1 ∑n i=0 x2 i − n(n − 1)− 1 ¯x2 8 = 7 − 1 ·37.3 − 8 ·7− 1 ·2.12 = 0.2885714286. 2. L’intervallo di confidenza per la media a varianza incogni ta ha come estremi ¯ xn ± t(1+α)/2(n − 1)sn/√ n. Essendo t0.975(7) = 2 .364623 e √ s2 8/8 = 0 .1899247972 si ricavano gli estremi 2 .1 ± 2.364623 ·√ 0.2885714286/8 = 2 .1 ± 0.4491005437. L’intervallo ` e quindi [1 .650899456, 2.549100544]. 3. Sia H0 : µ = 2 =: µ0 e H1 : µ ̸= 2. Dal punto recedente si ottiene subito che 2 ∈ [1.650899456, 2.549100544] quindi non si pu` o rifiutare H0 al 5%. Di fatto la regione di accettazione del test a livello β ` e ¯xn − t1− β/2(n − 1)sn/√ n < µ 0 < ¯xn +…