APPELLO 17 2 2022

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Segnali per le comunicazioni –Appello del 17/2/2022 Esercizio 1 da svolgere in 35 minuti Sia dato il sistema LTI con risposta all’impulso: ℎ(𝑡)=(1 + sin(𝜋𝑡)) A) Si trovi l'espressione della risposta in frequenza 𝐻(𝑓) del sistema dato. B) Si calcoli l’uscita 𝑦(𝑡) del sistema dato con ingresso 𝑥(𝑡)=𝑟𝑒𝑐𝑡(𝑡−𝜏). C) Si calcoli la potenza dell’uscita. Soluzione Esercizio 1 del 17/2/2022 Sia dato il sistema LTI con risposta all’impulso: ℎ(𝑡)=(1 + sin(𝜋𝑡)). A) Si trovi l'espressione della risposta in frequenza 𝐻(𝑓) del sistema dato: 𝐻(𝑓)=𝛿(𝑓)+𝑗 2𝛿൬𝑓+1 2൰−𝑗 2𝛿൬𝑓−1 2൰ B) Si calcoli l’uscita del sistema dato con ingresso 𝑥(𝑡)=𝑟𝑒𝑐𝑡(𝑡−𝜏). La trasformata dell’ingresso è: 𝑋(𝑓)=ୱ୧୬ గ௙ గ௙ 𝑒ି௝ଶగ௙ La trasformata dell’uscita è: 𝑌(𝑓) =𝐻(𝑓)𝑋(𝑓) =𝛿(𝑓)+𝑗 𝜋𝑒௝గఛ𝛿൬𝑓+1 2൰−𝑗 𝜋𝑒ି௝గఛ𝛿൬𝑓+1 2൰ L’uscita è: 𝑦(𝑡)= 1 +𝑗 2𝑒௝గఛ𝑒ି௝గ௧ −𝑗 2𝑒ି௝గఛ𝑒௝గ௧ = 1 +2 𝜋sin𝜋(𝑡−𝜏) C) Si calcoli la potenza dell’uscita. La potenza dell’uscita è banalmente la somma della potenza della costante unitaria e di quella della sinusoide di ampiezza 𝐴=ଶ గ così come è in generale nel caso di somma di cosinusoidi di frequenza diversa (e la costante è una cosinusoide a frequenza nulla). Infatti la potenza è data dall’integrale del quadrato del segnale divisa per il periodo. Tutti prodotti incrociati che derivano dall’elevare al quadrato il segnale, danno contributo nullo all’integrale eseguito su un periodo del segnale. In questo particolare caso l’uscita è un segnale periodico di periodo 𝑇௢ = 2. Per definizione la potenza è: 𝑃௬ =1 2න ൬ 1 +2 𝜋sin𝜋(𝑡−𝜏)൰ ଶ 𝑑𝑡 ଶ ଴ 𝑃௬ =1 2න 1 +4 𝜋ଶ sinଶ 𝜋(𝑡−𝜏)+4 𝜋sin𝜋(𝑡−𝜏)𝑑𝑡 ଶ ଴ L’integrale del prodotto incrociato è nullo in quanto eseguito su un periodo esatto della sinusoide. Dunque la potenza dell’uscita è 𝑃௬ = 1 +஺మ ଶ = 1 +ଶ గమ Segnali per le comunicazioni –Appello del 17/2/2022 Esercizio 2 da svolgere…