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Corso di Statistica - Prof. F abio Zucca Appello 2 - 26 luglio 2019 Nome e cognome: Matricola: c⃝I diritti d’autore sono riservati. Ogni sfruttamento commerciale no n autorizzato sar` a perseguito. 12957 Esercizio 1 Un treno ha n carrozze ciascuna delle quali ha 20 posti; i numeri dei passe ggeri delle carrozze sono variabili binomiali B(20, 3/ 4). 1. Qual ` e il numero medio di posti vuoti per carrozza? E il num ero medio di posti vuoti del treno? 2. Qual ` e la probabilit` a che una carrozza fissata non sia vuo ta? 3. Qual ` e la probabilit` a che una carrozza fissata non sia pie na? 4. Qual ` e il numero medio di carrozze non vuote? Ed il numero m edio di carrozze non piene? 5. Quante carrozze deve avere come minimo il treno affinch` e la probabilit` a di avere tutte le carrozze vuote sia inferiore a 0 . 5? 6. Si supponga che il numero di passeggeri della carrozza 1 in un certo istante sia B(20, 3/ 4). Se in quell’istante vedo entrare due persone prima di me nella car rozza 1 e non li vedo uscire (si suppone che abbiano trovato posto), qual ` e la probabilit` a che entr ando subito dopo io non trovi posto nella stessa carrozza? 1 Soluzione. Siano {Xi}n i=1 le variabili che contano i passeggeri delle carrozze. Sono i .i.d. con legge B(20, 3/ 4). Si potrebbe mostrare facilmente che il numero totale di pass eggeri Tn := ∑n i=1 Xi ∼ B(20n, 3/ 4), ma non utilizzeremo mai questo risultato. Sia Yi := 0 se Xi > 0 ed Yi := 1 se Xi = 0 (formalmente Yi := 1 lXi=0). Sono variabili B(P(Xi = 0)) i.i.d. 1. E[Xi] = 20 · 1/ 4 = 5. E[Tn] = ∑n i=1 E[Xi] = 5 n. 2. Sia Yi := 1 se Xi > 0 ed Yi := 0 se Xi = 0 (formalmente Yi := 1 lXi>0). Sono variabili B(P(Xi > 0)) i.i.d.; l’evento {Yi = 1} ≡ { Xi > 0} ` e il “successo” e ha probabilit` a pv := 1 − P(Xi = 0) = 1 − 1/ 420 ≈ 1 − 0. 909494702 ·…