Appello1

Page 1

Appello 1 — Parte 1 17/06/2025 — versione 1 — ♡♣♦♠ 32 pt – durata 1h 30’ – MS Forms Gli studenti aventi diritto a svolgere laprova ridotta del 30% secondo la L.170/2010 (indicazioni Multichance team) NON svolgono i quesiti contrassegnati con(***) TEST – 18 pt 1 — 2 pt (***) No Multichance Si determinino la mantissa m e l’esponente e del rappresentante floating-point del numero reale x = π nello spazio F(2, 4, −3, 3). m = 1100, e = 2 2 — 2 pt (***) No Multichance Si consideri la matrice A ∈ R100×100 tale che gli elementi della diagonale, quelli della prima riga e quelli della prima colonna sono pari a 1, mentre tutti gli altri elementi sono nulli. Si calcoli la fattorizzazione LU della matrice A senza pivoting. Si riportino: il valore dell’elemento ( U)6,9 della matrice U e i numeri di elementi aventi valore assoluto maggiore di 10 −10 rispettivamente nelle matrici A, L e U. u6,9 = 0.3333, nnzA = 298, nnzL = 5049, nnzU = 5049 3 — 3 pt Si consideri il sistema lineare Ax = b, con A ∈ Rn×n una matrice simmetrica e definita positiva, avente autovalori λi(A) per i = 1 , . . . , n. Si indichino le affer- mazioni vere. 1. ∥A∥2 = λmax(A). 2. K2(A−1) ≡ λmax(A) λmin(A) . 3. I valori singolari di A coincidono con gli autovalori di A. 4. Il metodo di Jacobi applicato al sistema converge per ogni scelta dell’iterata iniziale. 5. Il metodo di Gauss-Seidel applicato al sistema converge per ogni scelta dell’iterata iniziale. 6. Il metodo del gradiente coniugato applicato al sistema converge per ogni scelta dell’iterata iniziale. vere 1, 2, 3, 5, 6 1 4 — 2 pt Si consideri la matrice definita dai comandi Matlab® rng(1) e A=gallery(’toeppd’,10). Si approssimi l’autovalore pi` u vicino as = 7 utilizzando il metodo delle potenze inverse con shift s a partire dal vettore x(0) = (1 , 1, . . .…