Auto valuation 2020 solution B profVerri

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Politecnico di Milano Scuola di Ingegneria Industriale e d ell’Informazione Insegnamento di Analisi Matematica I prof. Maurizio Verri T est di AutoV alutazione (B) soluzioni 1. Sia K un campo. (a) Se 1 e 1′ sono due elementi neutri, allora 1′
1 = 1 ′ (perché 1 è elemento neutro) e 1
1′ = 1 (perché 1′ è elemento neutro), ma 1′
1 = 1
1′ (proprietà commutativa) da cui 1′ = 1. Se y e z sono due opposti di x (cioè x + y = 0 e x + z = 0 ), da (x + y) + z = ( x + z) + y (proprietà associativa e commutativa) segue 0 + z = 0 + y e quindi z = y. Se y e z sono due reciproci di x = 0 (cioè xy = 1 e xz = 1 ), da (xy) z = ( xz) y (proprietà associativa e commutativa) segue 1z = 1y e quindi z = y. (b) Se fosse 1 = 0 , preso x = 0 si avrebbe x = x1 = x0 = 0 , assurdo. (Si dà per provato che x0 = 0 ). (c) Detto y l’opposto di 0 (cioè 0 + y = 0), siccome vale l’uguaglianza 0 + 0 = 0 perché 0 è l’elemento neutro della somma, si deduce per l’unicità dell’opposto che è y = 0. Detto y il reciproco di 1 (cioè 1y = 1; tale reciproco esiste perché 1 = 0 , vedi proprietà (b)), siccome vale l’uguaglianza 1
1 = 1 perché 1 è l’elemento neutro del prodotto, si deduce per l’un icità del reciproco che è y = 1 −1. (d) (−1)2 = (per la proprietà (e)) = − (−1) = (per la proprietà (f)) = 1. (e) x + [(−1) x] = 1 x + [(−1) x] = [1 + ( −1)] x = 0 x = 0 e quindi (−1) x è l’opposto di x, cioè −x = (−1) x. (f) Detto y l’opposto di −x (cioè (−x) +y = 0), dall’uguaglianza x + (−x) = 0 (definizione di opposto di x) e dall’unicità dell’opposto segue y = x, cioè − (−x) = x. 0Aggiornamento: 7 ottobre 2013 M. V erri  Analisi Matematica I  T est di AutoV alutazione 2 (g) Per ogni x = 0 si ha (x−1)−1 = x: anzitutto è x−1 = 0 (per ché se fosse x−1 = 0 si avrebbe 1 = xx−1 = x0 = 0 , che sappiamo essere…