Cinematica relativa

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CINEMATICA RELATIVA Scopo della cinematica relativa : determinazione di parametri cinematici (r, v, a) rispetto ad un sistema di riferimento Σ, noti i parametri rispetto ad un sistema di riferimento Σ’, ed il moto relativo di Σ’ rispetto a Σ. Simbologia: r, v, a posizione, velocità e accelerazione di P rispetto a Σ r’, v’, a’ posizione, velocità e accelerazione di P rispetto a Σ’ r oo ’, voo ’, aoo ’ posizione, velocità e accelerazione di Σ’ rispetto a Σ ω velocità angolare della terna Σ’ rispetto a Σ. Dalla regola di somma dei vettori, si vede immediatamente che r = r’ + r oo ’ (1) CASO 1: TRASLAZIONE Supponiamo ora che la terna Σ’ trasli rispetto alla terna Σ. La derivata rispetto al tempo dell’equazione (1) è: ' ' '' oo oo vvvdt r d dt r d dt r d





+=⇒+= (2) Nota: il vettore r’ si scrive, in termini dei versori degli assi di Σ’, come: zyx u zu yu xr ''''



++= I versori zyx uuu ', ', '


restano costanti in modulo, direzione e verso, poichè la terna Σ’ compie un moto di traslazione rigida rispetto all a terna Σ. Questo comporta che le loro derivate rispetto a t sono nulle: non sarà più vero quando la terna ruota, per cui i versori c ambiano direzione nel tempo (ma il modulo resta costante). La derivata di r’ è dunque z zyyxxzyx uvuvuvudt dz udt dy udt dx dt r d






'''''''''' ++=++= (3) Derivando la (2), con un ragionamento analogo, si ottiene '' oo aaa


+= (4) Riassumendo, abbiamo ottenuto le leggi di composizione delle posizioni: r = r’ + r oo’ delle velocità v = v’ + v oo’ e delle accelerazioni: a = a’ + a oo’ I termini voo’ e aoo’ sono detti rispettivamente velocità e accelerazione di trascinamento nel moto relativo traslatorio CASO 2: ROTAZIONE Se la terna Σ’ ruota con velocità angolare costante ω attorno ad un asse fisso, e le due origino O e…