Collection of exams 2009 2010

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Ingegneria dell'edilizia - sezione A{K ANALISI MA TEMA TICA - DOCENTE: ELSA MARCHINI - 1 FEBBRAIO 2010 Cognome: Nome: Matricola: T eoria Es. 1 Es. 2 Es. 3 Es. 4 Es. 5 T otale • T utte le risposte devono essere motivate. Gli esercizi vanno svolti su questi fogli, nello spazio sotto il testo e, in caso di necessit a, sul retro. I fogli di brutta non devono essere consegnati. Teoria. (1) Classificare (con opportuni esempi) i punti di discontinuit` a delle funzioni reali. (2) Dare la definizione di serie convergente ed enunciare un criterio di convergenza per le serie a termini positivi. (3) Enunciare il Teorema Fondamentale del Calcolo. (4) Sia f : ( a; b) → R e sia x0 ∈ (a; b). Dimostrare che f derivabile in x0 implica f continua in x0. Vale il viceversa? 1. Disegnare nel piano di Argand-Gauss i seguenti insiemi E1 = { z ∈ C : |z − 1| = |z + i| } ; E2 = { z ∈ C : Re (z + 1 1 + i ) = 0 } : 2. Calcolare il limite lim x→0+ (ex + 1) ln(1 + x2)(x − sin x) (1 − cos x)x3 3. (3.1) Stabilire il carattere delle seguenti serie (a) +∞∑ n=1 1 n sin 1 n ; (b) +∞∑ n=1 2n(n + 1) n! ; (c) +∞∑ n=3 (−1)n ln n n : (3.3) Provare che la serie di funzioni ∞∑ n=1 sin(nx) n3 converge totalmente in R. `E possibile derivare la serie termine a termine? 4. Sia f (x) = x √ x2 − 4. (4.1) Calcolare l’integrale ∫ 3 2 f (x) dx: (4.2) Determinare la convergenza o meno dell’integrale ∫ +∞ 2 1 f (x) dx : 5. Si consideri la funzione f (x) = √x ln x: (5.1) Determinare il dominio di f , i limiti alla frontiera del dominio, il segno di f , gli eventuali asintoti. (5.2) Calcolare f ′ (quando esiste) e determinare dove f ` e monot` ona crescente o decrescente e gli eventuali punti estremanti, angolosi, cuspidali. (5.3) Tracciare un grafico qualitativo di f . Soluzioni. 1. E1 = { z ∈ C : d(z; 1) = d(z; −i) } ; dove…