Collection of exams 2010 2011

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Ingegneria dell'edilizia { ANALISI MA TEMA TICA DOCENTI: GABRIELE GRILLO, ELSA MARCHINI APPELLI A.A. 2010{2011 PRIMA PROV A IN ITINERE - 18 NOVEMBRE 2010 Teoria. (1) Calolare le radici terze di 1 + i. (2) Partendo dal grafico di g(x) = 1 x ed utilizzando opportune trasformazioni, disegnare il grafico di f (x) = −1 2|x+1| . (3) Utilizzando il criterio del rapporto per le successioni provare che lim n→∞ n! nn = 0: (4) Dimostrare la condizione necessaria di convergenza per le serie. Mostrare con un esempio la non sufficienza. (5) Enunciare il teorema degli zeri per le funzioni continue. 1. (1.1) Determinare le soluzioni di z + 2 z ≤ 3 dove z ∈ C. (1.2) Disegnare nel piano di Argand-Gauss l’insieme A delle soluzioni determinate nel punto precedente. (1.3) Disegnare nel piano di Argand-Gauss gli insiemi B = {w ∈ C : w = z + i con z ∈ A} C = {v ∈ C : v = −iw con w ∈ B}: Soluzione. (1.1) Sia z ̸= 0. z + 2 z ≤ 3 ⇔ |z|2 + 2| ≤ 3|z| ⇔ | z|2 − 3|z| + 2 ≤ 0 ⇔ 1 ≤ |z| ≤ 2; quindi le soluzioni richieste sono tutti i numeri complessi z = (cos  + i sin ) tali che 1 ≤  ≤ 2. (1.2) L’insieme A ` e una corona circolare. • . .............................................................................................................................................................................................................................. . . ............................................................................................................................................................................................................................ .. . . ..…