Collection of exercises

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Statistica Esercitazione 1 Questi esercizi sono ispirati, o tratti, dai temi d’esame proposti negli anni passati per questo corso, reperibili alla pagina web della prof.ssa Laura Sangalli. Esercizio 1: Il seguente dataset fornisce il numero di guasti rilevati nell’ultima settimana di produzione su un gruppo di N = 15 macchinari: x1 = 0 x2 = 0 1 5 1 3 2 2 3 1 1 2 0 0 xN = 1 a) Costruire la tabella della distribuzione di frequenza assoluta ( fA), relativa (f) e relativa cumulata (F ). b) Calcolare media e scarto quadratico medio. c) Calcolare i quartili, differenza interquartile e produrre il box-plot della distribuzione. d) Calcolare lo 0.9-quantile. e) Se su una sedicesima macchina si osservassero 10 guasti, come varierebbero media e mediana? Soluzione. a) Raccogliendo i dati inn = 5 classi distinteck, e ricordando che la frequenza relativa cumulata Fk associata alla classe ck si ottiene sommando le frequenze relative fi per i = 1, 2,...,k , si ha Classi fA f =fA/N F c1 = 0 4 0.27 0.27 c2 = 1 5 0.33 0.60 c3 = 2 3 0.20 0.80 c4 = 3 2 0.13 0.93 c1 = 5 1 0.07 1 b) Abbiamo ¯xN = ∑N i=1xi N = ∑n i=1cifA,i N = n∑ i=1 cifi sqmN = √∑N i=1(xi− ¯xN)2 N = √∑n i=1(ci− ¯xN)2fA,i N = √ n∑ i=1 (ci− ¯xN)2fi Dunque, nel nostro caso, ¯x15 = 1 15(0· 4 + 1· 5 + 2· 3 + 3· 2 + 5· 1) = 1.47 sqm = √ 1 15[4(0− 1.47)2 + 5(1− 1.47)2 + 3(2− 1.47)2 + 2(3− 1.47)2 + (5− 1.47)2] = 1.36 1 c) Abbiamo definito il quantile di ordineα come la pi` u piccola osservazione che risulta maggiore o uguale di almeno il 100 α% delle osservazioni. Dalle frequenze relative cumulate deduciamo: q0.25 = 0 (primo quartile), q0.5 = 1 (secondo quartile, o mediana), q0.75 = 2 (terzo quartile), IQR = q0.75−q0.25 = 2. Da cui il boxplot: il rettangolo ` e delimitato dal primo e dal terzo quartile e diviso in due dalla…