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Funzioni di due variabili 1. Determinare l’insieme di definizione D delle seguenti funzioni e stabilire se D ` e aperto, chiuso, n´ e aperto n´ e chiuso, limitato, illimitato, connesso: 1) f (x, y) = log(x√y − x) xy − 1 2) f (x, y) = √ 2y − x(x − |x|) log(2 − x2 − y2) 3) f (x, y) = √ (x2 − 2x − y)(x2 − 2x + y) (x − 3 2 )2 + (y − 1 2)2 + log x + 1 2 − x 4) f (x, y) = √ x2 + y − 1 x2 − 1 5) f (x, y) = √−xy + arcsin(x2 + y2) 2. Determinare l’insieme di definizione D delle seguenti funzioni e stabilire se D ` e aperto, chiuso, n´ e aperto n´ e chiuso, limitato, illimitato, connesso; studiare inoltre il segno di f : 1) f (x, y) = √ x − √ 1 − x2 − y2 2) f (x, y) = x log(1 + x2 − y) y 3) f (x, y) = log sin( x2 + y2) 4) f (x, y) = √x + y + 1 2x − y + 2 3. Determinare l’insieme di definizione D delle seguenti funzioni e indicarne la frontiera: 1) f (x, y) = √ log(x2 − y) arcsin y 2) f (x, y) = √ |x|(x2 + y2 − 4) 4. Determinare le linee di livello delle seguenti funzioni: 1) f (x, y) = 1 − x2 − y2 1 2) f (x, y) = xy 3) f (x, y) = e−x2−y2 4) f (x, y) = 1 x + y 5. Sia f (x, y) = √ 9 − 2x2 − 6y2, si determini il dominio D e si disegnino le linee di livello 0,1 e 3. Si determini la curva di livello passante per il punto P = (1, 1). 6. Determinare l’insieme di definizione D della funzione f (x, y, z) = log( x2 + y2) + z 7. Determinare le superfici di livello delle seguenti funzioni 1) f (x, y, z) = x + 3y + 5z 2) f (x, y, z) = x2 + 3y2 + 5z2 3) f (x, y, z) = 1√x2 + y2 + z2 Soluzioni. 1. 1) D = {(x, y) ∈ R2 : y > x, x > 0, y ̸= 1 x }; D ` e aperto, illimitato, non connesso. 2) D = {(x, y) ∈R2 : x2 + y2 < 2, x2 + y2 ̸= 1, y ≥ 0 per x ≥ 0, y ≥ x2 per x < 0}; D ` e n´ e aperto n´ e chiuso, limitato, non connesso. 3) D = {(x, y) ∈ R2 : −1 < x < 2, (x, y) ̸= ( 3 2 , 1 2 ) , −|x2 − 2x| ≤ y ≤ |x2…