DSA a1 2023 01 20 sol

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Traccia di soluzione Esercizio 1 1.1) Cinematica Posto un sistema di riferimento in O, si consideri dapprima la chiusura vettoriale (A − O) + (B − A) = (O′ − O) + (B − O′) (1) chiamando: • a il modulo di ( A − O), α la sua anomalia • b il modulo di ( B − A), β la sua anomalia • c il modulo di ( C − O′), γ la sua anomalia • f il modulo di ( O − O′) si ha aejα + bejβ = f + c 2ejγ (2) ovvero ( a cos α + b cos β = f + c 2 cos γ a sin α + b sin β = f + c 2 sin γ (3) Risolvendo il sistema di equazioni trascendenti, per esempio con metodi alla Newton-Raphson, ` e possibile determinare i legami β = β(α), γ = γ(α). Derivando nel tempo la(2) si ottiene j ˙αaejα + j ˙βbejβ = j ˙γ c 2ejγ (4) ovvero ( −a ˙α sin α − b ˙β sin β = − c 2 ˙γ sin γ a ˙α cos α + b ˙β cos β = c 2 ˙γ cos γ (5) che rappresenta, istante per istante, un sistema lineare in ˙β, ˙γ: −b sin β c 2 sin γ b cos β − c 2 cos γ  ˙β ˙γ  =  a sin α −a cos α  ˙α (6) che ha soluzione  ˙β ˙γ  =  −b sin β c 2 sin γ b cos β − c 2 cos γ −1 a sin α −a cos α  ˙α =    ∂β ∂α ∂γ ∂α    ˙α (7) Derivando nel tempo la(4) si ottiene j ¨αaejα − ˙α2aejα + j ¨βbejβ − ˙β2bejβ+ = j¨γ c 2ejγ − ˙γ2 c 2ejγ (8) ovvero, tenendo conto che ¨α = 0: ( −a ˙α2 cos α − b ¨β sin β − b ˙β2 cos β = − c 2 ¨γ sin γ − c 2 ˙γ2 cos γ −a ˙α2 sin α + b ¨β cos β − b ˙β2 sin β = c 2 ¨γ cos γ − c 2 ˙γ2 sin γ (9) che rappresenta di nuovo, istante per istante, un sistema lineare in ¨β, ¨γ: −b sin β c 2 sin γ b cos β − c 2 cos γ  ¨β ¨γ  = b cos β − c 2 cos γ b sin β − c 2 sin γ  ˙β2 ˙γ2  + a cos α a sin α  ˙α2 (10) che ha soluzione  ¨β ¨γ  = −b sin β c 2 sin γ b cos β − c 2 cos γ −1b cos β − c 2 cos γ b sin β − c 2 sin γ  ˙β2 ˙γ2  + −b sin β c 2 sin γ b cos β − c 2 cos γ −1a cos α a sin α  ˙α2 (11) Si consideri ora una…