Esame 2020 01 10

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Esercizio 1 Dato il circuito in figura, sapendo che l’interruttore S1 si chiude all’istantet = 0, mentreS2 si apre all’istante t = 1s, determinare l’espressione analitica e rappresentare l’andamento nel tempo della corrente i(t) per −∞ < t <+∞ con il verso indicato in figura. Riportare in maniera esplicita le condizioni iniziali del primo transitorio ( i(t− 0 )) e del secondo (i(t− 1 )), il valore asintotico del primo transitorio ( i(∞1)) e del secondo ( i(∞2)) e le constanti di tempo del primo transitorio (τ1) e del secondo (τ2). A1 R1 E1 S1 S2 R2 R2 A2 R1 L i(t) R2 E2 E1 = 10 V E2 = 50 V A1 = 10 A A2 = 20 A R1 = 10 Ω R2 = 5 Ω L = 5 H Risultati: i(t− 0 ) = 5 A i(t− 1 ) = 13 ,92 A i(∞1) = 16 A i(∞2) = 20 A τ1 = 0 ,6s τ2 = 0 ,33s t i(t) 5 A 16 A 20 A τ1 1 +τ21 i(t) =    5 A, t< 0 16− 11e−t/τ1, 0<t< 1 20− 6,08e−(t−1)/τ2, t> 1 Soluzione: Rete per t< 0s A1 R1 E1 R2 R2 A2 R1 i(0−) R2 E2 Dalla legge di Ohm: i(0−) = E2 2R2 = 5 A (1) Rete a t = +∞1 A1 R1 E1 R2 R2 A2 R1 i(∞1) R2 E2 1 Eliminando la resistenza R2 perch´ e in parallelo adE2, si ottiene una rete binodale: VMN = A1 +A2 + E2 R2 1 R1 + 1 R2 + 1 R2 = 80 V (2) Quindi: i(∞1) = VMN R2 = 16 A (3) La resistenza equivalente vale: Req,1 =R2 +R1//R2 = 8,33 Ω (4) Quindi: τ = L Req,1 = 0,6 s (5) Quindi l’andamento temporale del primo transitorio ` e: i(t) = 16− 11e−t/τ1, 0<t< 1 (6) Al tempo t =t1: i(t1) = 16− 11e−1/τ1 = 13,92 A (7) Rete a t = +∞2 A1 R1 E1 R2 R2 A2 R1 i(∞1) R2 E2 La rete si pu` o risolvere con un partitore di corrente: i(∞2) = (A1 +A2)· R1 R1 +R2 = 20 A (8) La resistenza equivalente ` e: Req,2 =R2 +R1 = 15 Ω (9) Quindi la costante di tempo ` e: τ2 = L Req,2 = 0,33 s (10) 2 Esercizio 2 Data la rete in figura alimentata in regime alternato sinusoidale a 50 Hz, calcolare la potenza complessa totale…