Esame 2020 07 06

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Esercizio 1 Dato il circuito in figura, sapendo che il generatore di tensione si accende all’istante t0 = 0 e si spegne all’istante t1 = 1 s, determinare l’espressione analitica e rappresentare l’andamento nel tempo della tensione vC(t) per−∞< t < +∞, con il verso indicato in figura. Riportare in maniera esplicita il valore: vC(t0), il valore asintotico del primo transitorio (vC(∞1)) , e le constanti di tempo ( τ1 e τ2 rispettivamente del primo e del secondo transitorio). Determinare inoltre il valore v5(t1) e l’energia WC accumulata nel circuito all’istante t1. Attenzione, la resistenza R1 va determinata come segue: inserire il proprio Codice Persona (8 cifre): a b c d e f g h →R1 = e f g h Ω R2 E1 R1 A2 C vC(t) R3 R4 A3 R5 v5 A5 t E1 10 V t1 Dati: E1 = 10 V A2 = 2 mA A3 = 1,5 mA A5 = 5 mA R1 = efgh Ω R2,3,4,5 = 5 kΩ C = 10 µF Risultati: v(t− 0 ) = 12 ,5 V v(∞1) = 22 ,5 V τ1 = 150 ms τ2 = 150 ms v5(t1) = 25 V WC(t1) = 2 ,53mJ t v(t) t1 12,5 V 22,5 V τ1 τ2 v(t) =    12,5 V, t<t 0 22,5− 10·e− t 0,15, t 0<t<t 1 10·e−t−1 0,15 + 12,5, t> 1 Soluzione: Nel seguito si considera, a titolo di esempio, R1 = 5 kΩ. Rete per t<t 0 R2 R1 A2 vC(t−0) R3v3 R4 A3 R5 v5 A5 v2 Da una KVL si ricava: v(t+ 0 ) =v(t− 0 ) =v2−v3 = (R1 +R2)A2−R3A3 = 12,5 V (1) Condizioni finali del primo transitorio 1 R2 E1 R1 A2 vC(∞1) R3v3 R4 A3 R5 v5 A5 v2 Da una KVL si ricava: vC(∞1) =v2−v3 =E1 + (R1 +R2)A2−R3A3 = 22,5 V (2) La resistenza equivalente vista da C ` e: Req1 =R1 +R2 +R3 = 15 kΩ (3) Costante di tempo: τ1 =Req1·C = 150 ms (4) Soluzione analitica del primo transitorio: vC(t) = (vC(0+)−vC(∞1))·e−t−t0 τ1 +vC(∞1) = 22,5− 10·e− t 0,15 V (5) Tempot1: vC(t+ 1 ) =vC(t− 1 ) = 22,5− 10·e− 1 0,15 = 22,5 V (6) Condizioni finali del secondo transitorio: (analoghe alle condizioni a t− 0 ) v(∞2) =…