esame 30 gennaio 2017

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Prova scritta di ANALISI MA TEMA TICA III 30 gennaio 2017 Cognome: Nome: Matricola: Prof. GazzolaIng. Matematica T eor E1 E2 E3 E4 T otale I seguenti quesiti e il relativo svolgimento sono coperti da diritto d’autore; pertanto essi non possono essere sfruttati a fini commerciali o di pubblicazione editoriale. Ogni abuso sar` a perseguito a termini di legge dal titolare del diritto.c⃝ • T utte le risposte devono essere motivate. Gli esercizi vanno svolti su questi fogli, nello spazio sotto il testo e, se necessario, sul retro. La brutta copia non deve essere consegnata. Ogni esercizio vale 7 punti, la domanda di teoria vale 4 punti. Domanda di teoria: Enunciare (bene!) e dimostrare il teorema riguardante la trasformata di Fourier di una convoluzione Esercizio 1. Determinare la soluzione della seguente equazione differenziale: y′′ + 2y′ + y = e−tχ[1,2](t), y (0) = y′(0) = 0. Soluzione: Usiamo la trasformata di Laplace, osserviamo innanzitutto che L{e−tχ[1,2](t)} = ∫ 2 1 e−(s+1)t dt = e−(s+1)− e−2(s+1) s + 1 = 1 e e−s s + 1− 1 e2 e−2s s + 1; quindi trasformando l’equazione di partenza, otteniamo s2Y + 2sY + Y = 1 e e−s s + 1− 1 e2 e−2s s + 1 ⇒ Y (s) = 1 e e−s (s + 1)3− 1 e2 e−2s (s + 1)3 . Per le propriet` a della trasformata di Laplace, osserviamo che L−1 { 1 s3 } = 1 2 t2H(t), ⇒ L −1 { 1 (s + 1)3 } = 1 2 e−tt2H(t), ricordando inoltre cheL{f(t− a)} = e−asF (s) otteniamo y(t) = 1 eL−1 { e−s (s + 1)3 } − 1 e2L−1 { e−2s (s + 1)3 } = 1 2e e−(t−1)(t− 1)2H(t− 1)− 1 2e2 e−(t−2)(t− 2)2H(t− 2) = e−t 2 [ (t− 1)2H(t− 1)− (t− 2)2H(t− 2) ] N.B.: Allo stesso risultato si poteva pervenire, senza trasformare il termine noto, osservando che Y (s) = 1 (s + 1)2·L{ e−tχ[1,2](t)} =L{tH(t)}·L{ e−tχ[1,2](t)} e ricavando y(t) tramite una convoluzione. Esercizio 2. Si consideri la funzione 2…