esame del 19 febbraio 2016

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Prova scritta di ANALISI MA TEMA TICA III 19 febbraio 2016 Cognome: Nome: Matricola: Prof. GazzolaIng. Matematica T eor E1 E2 E3 E4 T otale I seguenti quesiti e il relativo svolgimento sono coperti da diritto d’autore; pertanto essi non possono essere sfruttati a fini commerciali o di pubblicazione editoriale. Ogni abuso sar` a perseguito a termini di legge dal titolare del diritto.c⃝ • T utte le risposte devono essere motivate. Gli esercizi vanno svolti su questi fogli, nello spazio sotto il testo e, se necessario, sul retro. La brutta copia non deve essere consegnata. Ogni esercizio vale 7 punti, la domanda di teoria vale 4 punti. Domanda di teoria: Spiegare cosa si intende per distribuzione, per distribuzione temperata, per conver- genza nel senso delle distribuzioni. Fornire un esempio di distribuzione che non ` e temperata. Esercizio 1. Calcolare l’integrale ∫ R x cos(πx) (x2 + 1)(x2 + 2x + 2)dx. Soluzione: La funzione di variabile complessa f(z) =f+(z)+f−(z) con f+(z) = zeiπz 2(z2 + 1)(z2 + 2z + 2), f −(z) = ze−iπz 2(z2 + 1)(z2 + 2z + 2), ha quattro poli del prim’ordine in z =±i e z =−1±i. Inoltre, Res(f+,i ) = 1− 2i 20eπ , Res(f+,−1+i) = 1− 3i 20eπ , Res(f−,−i) = 1 + 2i 20eπ , Res(f−,−1−i) = 1 + 3i 20eπ . Integrandof+ (risp. f−) sulla solita semicirconferenza nel sempiano immaginario positivo (risp. negativo) e applicando uno dei Lemmi di Jordan, otteniamo ∫ R x cos(πx) (x2 + 1)(x2 + 2x + 2)dx = 2πi [ Res(f+,i )+Res(f+,−1+i)−Res(f−,−i)+Res(f−,−1−i) ] = π eπ . Esercizio 2. Risolvere il seguente problema integro-differenziale y′(t) = 1 +t + 8 ∫ t 0 (t−τ)2y(τ)dτ , y (0) = 1 . Soluzione: Supposto che supp(y)⊂ [0,∞), procediamo medianteL-trasformata. Posto Y (s) = L ( y(t) ) , risulta L (∫ t 0 (t−τ)2y(τ)dτ ) =L ( t2∗y(t) ) =L ( t2)·L ( y(t) ) = 2Y (s) s3 . Ma allora,…