esame del 27 agosto 2019

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Prova scritta di ANALISI MA TEMA TICA III 27 agosto 2019 Cognome: Nome: Matricola: Prof. GazzolaIng. Matematica T eor E1 E2 E3 E4 T otale I seguenti quesiti e il relativo svolgimento sono coperti da diritto d’autore; pertanto essi non possono essere sfruttati a fini commerciali o di pubblicazione editoriale. Ogni abuso sarà perseguito a termini di legge dal titolare del diritto.c⃝ • T utte le risposte devono essere motivate. Gli esercizi vanno svolti su questi fogli, nello spazio sotto il testo e, se necessario, sul retro. La brutta copia non deve essere consegnata. Ogni esercizio vale 6 punti, la domanda di teoria vale 8 punti. Domanda di teoria. Enunciare e dimostrare il Teorema di Weierstrass per le funzioni olomorfe. Esercizio 1. Si consideri la funzione f (x) = e−|x| 4 √ |x| . (i) Stabilire per qualip∈ [1,∞], si haf∈Lp(R). (ii) Dimostrare che per ogniv∈S (R) si hafv∈L1(R). (iii) Dimostrare che il funzionaleT :S(R)→ R definito da⟨T,v⟩ = ∫ R fv è una distribuzione temperata. Soluzione: (i) Si haf (x)→ +∞ per x→ 0 e quindi f ̸∈ L∞(R). All’infinito la f decade esponenzialmente e non ci sono problemi di integrabilità. Perx→ 0, f (x) ha un infinito di ordine 1/4: pertanto,f∈Lp(R) per ogni 1≤p< 4. (2 punti) (ii) Per quanto visto al punto i), si haf∈L1(R). PoichéS(R)⊂L∞(R), per la disuguaglianza di Hölder si avrà chev∈S (R) implica fv∈L1(R). (2 punti) (iii) Il funzionaleT è chiaramente lineare, si tratta quindi di dimostrare che è continuo suS(R). Data una successionevn→v inS(R) si ha, in particolare, chevn→v uniformemente e dunque che∥vn∥L∞ ≤ 2∥v∥L∞ definitivamente. Si può quindi applicare il Teorema della convergenza dominata di Lebesgue con la maggioranteg(x) = 2∥v∥L∞f (x) (che sta inL1(R)) e passare al limite sotto il segno di integrale: ∫ Rfvn→ ∫ Rfv, il che prova la…