esami luglio settembre 2017

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Prova scritta di ANALISI MA TEMA TICA III 5 luglio 2017 Cognome: Nome: Matricola: Prof. GazzolaIng. Matematica T eor E1 E2 E3 E4 T otale I seguenti quesiti e il relativo svolgimento sono coperti da diritto d’autore; pertanto essi non possono essere sfruttati a fini commerciali o di pubblicazione editoriale. Ogni abuso sar` a perseguito a termini di legge dal titolare del diritto.c⃝ • T utte le risposte devono essere motivate. Gli esercizi vanno svolti su questi fogli, nello spazio sotto il testo e, se necessario, sul retro. La brutta copia non deve essere consegnata. Ogni esercizio vale 7 punti, la domanda di teoria vale 4 punti. Domanda di teoria: Siaf∈L1(Rn). Dimostrare che la sua trasformata di Fourier ˆf soddisfaf∈C0(Rn) e∥ˆf∥∞≤∥f∥1. Esercizio 1. a) Sia u una funzione continua su R e 2π-periodica; dimostrare che (H = gradino di Heaviside) L ( H(t)u(t),s ) = ∫ 2π 0 e−stu(t)dt 1−e−2πs ∀Re(s)> 0. b) Sia u(t) = sint +| sint| 2 ; disegnare il grafico di u e, usando il punto a), determinare L ( H(t)u(t),s ) . Soluzione: a) Partendo dalla definizione e usando la periodicit` a di u, si ottiene L ( H(t)u(t),s ) = ∫ ∞ 0 e−stu(t)dt = ∞∑ k=0 ∫ (2k+2)π 2kπ e−stu(t)dt = ∞∑ k=0 ∫ (2k+2)π 2kπ e−stu(t− 2kπ)dt (y =t− 2kπ) = ∞∑ k=0 ∫ 2π 0 e−s(y+2kπ)u(y)dy = ∫ 2π 0 e−syu(y)dy· ∞∑ k=0 e−2kπs e si conclude usando la somma della serie geometrica di ragione e−2πs che ha modulo < 1 se Re(s)> 0. b) La funzione u soddisfa le ipotesi del punto a), pertanto: L ( H(t)u(t),s ) = ∫ 2π 0 e−stu(t)dt 1−e−2πs = ∫π 0 e−st sin(t)dt 1−e−2πs = 1 +e−πs (1 +s2)(1−e−2πs) = 1 (1 +s2)(1−e−πs). Esercizio 2. Sia f la funzione π-periodica definita ponendo f(x) = cosx su [−π/2,π/ 2). (a) Disegnare il grafico di f sull’intervallo [−2π, 2π]. (b) Determinare le serie di Fourier associata a f (ricordiamo che cosα· cosβ =…