Esercitazione 3

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Probabilit` a e Statistica per l’Informatica Esercitazione 3 Esercizio 1: La funzione di ripartizione della variabile aleatoriaX ` e definita come segue: FX(x) =    0 se x< 0 1/2 se 0 ≤x< 1 α se 1≤x< 2 11/12 se 2 ≤x< 3 1 se 3 ≤x a) Determinare i valori possibili di α. b) Fissato α = 2/3, determinare P (X≤ 5/2), P (X >2), P (X <2), P (1<X ≤ 3) e P (1≤X≤ 3). c) Determinare la densit` a diX, il suo valore atteso e la sua varianza. Soluzione. a) Per la non decrescenza della funzione di ripartizione, dev’essere 1 /2≤α≤ 11/12. b) Abbiamo P (X≤ 5/2) = F (5/2) = 11/12 P (X >2) = 1 −P (X≤ 2) = 1−F (2) = 1/12 P (X <2) = limx→2−F (x) = 2/3 P (1<X ≤ 3) = P (X≤ 3)−P (X≤ 1) =F (3)−F (1) = 1/3 P (1≤X≤ 3) = F (3)−limx→1−F (x) = 1− 1/2 = 1/2 Osservate che la diversit` a tra P (X ≤ 2) = 11 /12 e P (X < 2) = 2 /3 ` e dovuta alla discontinuit` a in 2. Notate inoltre che il penultimo risultato si ottiene dal fatto che l’evento {X≤ 3} ` e uguale all’evento{X≤ 1}∪{ 1<X ≤ 3}, dove l’unione ` e disgiunta. c) Dalla f.d.r., deduciamo che X assume valori in {x1 = 0,x 2 = 1,x 3 = 2,x 4 = 3}; (sono i valori in corrispondenza dei quali la F ha una discontinuit` a); per ognik, si ha P (X =xk) =P (X≤xk)−P (X <xk) =F (xk)−limx→x− k F (x) =F (xk)−F (xk−1) ovvero la probabilit` aP (X =xk) ` e uguale all’ampiezza delk-esimo salto della funzione di ripartizione. P (X = 0) = F (0)− 0 = 1/2 P (X = 1) = F (1)−F (0) = 1/6 P (X = 2) = F (2)−F (1) = 1/4 P (X = 3) = F (3)−F (2) = 1/12 1 Inoltre, per definizione, E[X] = 3∑ k=0 kP (X =k) = 0· 1 2 + 1· 1 6 + 2· 1 4 + 3· 1 12 = 11 12 Quanto alla varianza, Var (X) =E[X 2]−E2[X], dove il valore atteso di X 2 ` e dato da E[X 2] = 3∑ k=0 k2P (X =k) = 02· 1 2 + 12· 1 6 + 22· 1 4 + 32· 1 12 = 23 12, e dunque Var (X) = 23 12− (11 12 )2 = 155 144…