Esercitazione 4 Test 1

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Modelli e Metodi dell’Inferenza Statistica A.A. 2019/2020 Esercizio 1.Dato un campione casualeX1,...,X5da una leggeB(p), conpincognito e 0p1, si vuole sottoporre a verifica l’ipotesi nulla H0:p=1/2 contro l’ipotesi alternativaH1:p6=1/2. Si intende impiegare una regione critica del tipo R= ⇢ x5 1 2 >c . (a) Cercare i valori dicche danno un test di dimensione↵= 10%. (b) Cercare i valori dicche danno un test di livello↵= 10%. Esercizio 2.Un campione di ampiezza 1 ` e estratto da una popolazioneP( ). Per verificareH0: =1 controH1: = 2, si consideri la regione criticaR={x>3}. Si trovino le probabilit` a di errore di primo tipo [0.019] e di secondo tipo [0.86] e la potenza del test [0.14] contro = 2. Esercizio 3.Si consideri il modello statistico dato dalle leggi esponenziali E(⌫),⌫>0, e siaX1,...,Xn un campione casuale estratto da una popolazione descritta da tale modello. Trovare i test di dimensione ↵basati sul rapporto di verosimiglianza per (a)⌫=⌫0contro⌫6=⌫0. (b)⌫⌫0contro⌫>⌫0. h R={x ↵(n, nµ0)} i Esercizio 4.DataX⇠Bi(n, p), connnoto epincognito in [0,1], (a) si cerchi un test di livello↵basato sul rapporto di verosimiglianza perH0:pp0controH1:p>p0, (b) si scriva esplicitamente la regione di rifiuto nel caso n= 5,p0=0.7,↵=0.03. Esercizio 5.Si considerino i due campioni casualiX1,...,Xnda una popolazioneN(µ1, 2)eY1,...,Ym da una popolazioneN(µ2, 2), dove i parametriµ1,µ2e 2sono tutti ignoti. Si vole sottoporre a verifica H0:µ1=µ2+ controH1:µ16=µ2+ . (a) Si trovino i test basati sul rapporto di verosimiglianza per queste ipotesi, mostrando che possono essere eseguiti sulla base della statistica T=X Y q S2p 1 n+1 m , dove S2 p= 1 n+m 2 ⇣nX i=1 (Xi X)2+ mX i=1 (Yi Y)2 ⌘ . (b) Si mostri cheT⇠t(n+m 2) sottoH0. (c) Fissata una dimensione↵, si determini il corrispondente test…