Esercitazione 5

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Probabilit` a e Statistica per l’Informatica Esercitazione 5 Esercizio 1: Una variabile aleatoria si dice avere distribuzione log-normale di parametri µ e σ2 se logY ha distribuzione gaussiana N(µ,σ 2). a) Determinare la densit` a diY . b) Determinare valore atteso e varianza di Y . c) Il reddito mensile, espresso in migliaia di euro, di una certa popolazione ha dis- tribuzione log-normale di parametri ( 1 4, 1). Qual ` e la probabilit` a che, preso un individuo a caso da questa popolazione, guadagni pi` u di 10000 euro al mese? Qual ` e il reddito medio della popolazione? Soluzione. a) Poich´ eY = eX, con X∼ N(µ,σ 2), la densit` a diY ha supporto R+. Dunque, per ogni y≤ 0, si ha P (Y≤y) = 0. Sia ora y >0: P (Y≤y) =P (logY≤ logy) =P (X≤ logy) = Φ (logy−µ σ ) Cos` ı ` e determinata la funzione di ripartizione. La densit` a diY ` e quindi data da fY (y) = Φ ′ (logy−µ σ ) · 1 σy· I(0,+∞)(y) = 1√ 2πσy exp ( −(logy−µ)2 2σ2 ) I(0,+∞)(y) In alternativa, poich´ eg(x) =ex soddisfa le ipotesi della Proposizione 2.6.5 delle dispense, possiamo facilmente concludere che fY (y) =    fX(g−1(y))|(g−1)′(y)| =fX(logy)1 y = 1√ 2πσy exp ( −(logy−µ)2 2σ2 ) y >0 0 y≤ 0 b) Si vuole calcolareE[Y ] eVar (Y ). Sia X = logY , come al punto precedente. Dunque X∼ N(µ,σ 2). Indicando con MX(t) = E[etX] la funzione generatrice dei momenti di X e ricordando che MX(t) = exp ( µt + σ2t2 2 ) , troviamo facilmente E[Y ] = E[eX] =MX(1) =eµ+σ2/2 Var (Y ) = E[e2X]−E2[eX] =MX(2)−M 2 X(1) =e2µ+σ2 (eσ2 − 1) c) Sia Y il reddito mensile, in migliaia di euro, della popolazione in esame. Si chiede P (Y > 10). In base a quanto ricavato al punto a), P (Y > 10) = 1− Φ ( log10− 1 4 ) = 1− Φ(2.0526)≃ 0.0201 1 Quanto al reddito medio, E[Y ] = exp (1 2 + 1 4 ) = 2.117 Esercizio 2: (Ispirato all’Esercizio 2, prima…