Esercizi di Funzioni

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ESERCIZI SUCCESSIONI DI FUNZIONI Per ciascuna delle seguenti successioni di funzioni {fn}n≥0: i) Determinare l’insieme E di convergenza puntuale e la funzione limite f. ii) Stabilire se la convergenza alla funzione limite f ` e uniforme suE e in caso negativo stabilire su quali interalli I⊂ E la convergenza ` e uniforme. a) fn(x) = x 1 + enx . b) fn(x) = 1 n2x2− nx + 1. c) fn(x) = n arctan(1 + nx) n + x2 . d) fn(x) = x3− nx x2 + n . e) fn(x) = log x 2 + nx2 . f) fn(x) = enx cosh 2nx. g) fn(x) = n5(nx2 + 2x)enx. SOLUZIONI: a) E = R, f (x) = { 0 x≥ 0 x x < 0 , conv. unif. su E. b) E = R, f (x) = { 0 x̸= 0 1 x = 0 , con. unif. su I1 = (−∞, b], b < 0, e su I2 = [a, +∞), a > 0. c) E = R, f (x) =    −π 2 x < 0 π 4 x = 0 π 2 x > 0 , con. unif. su I1 = [a, b], 0 < a < b , e su I2 = [c, d], c < d < 0. d) E = R, f (x) =−x, con. unif. su I = [a, b], a < b . e) E = [0, +∞), f (x) = { 0 x̸= 1 0 x = 1 , con. unif. su I = [M, +∞), M > 0. f) E = R, f (x) = { 0 x̸= 0 1 x = 0 , con. unif. su I1 = (−∞, b], b < 0, e su I2 = [a, +∞), a > 0. g) E = (−∞, 0], f (x) = 0, con. unif. su I = (−∞, M], M < 0. 1 ESERCIZI SERIE DI FUNZIONI Per ciascuna delle seguenti serie di funzioni +∞∑ n=1 fn: i) Determinare l’insieme E di convergenza puntuale. ii) Stabilire se la convergenza ` e uniforme su E e in caso negativo stabilire su quali interalli I⊂ E la convergenza ` e uniforme. a) fn(x) = log (2x + n2 x + n2 ) , x≥ 0. b) fn(x) = nxen(x2+x). c) fn(x) = x + n n3 arctan(1 + nx2). d) fn(x) = n3xe−nx. e) fn(x) = 3x− sin nx x2 + n 5 2 . f) fn(x) = e−nx n! . g) fn(x) = x3n √ n + 3e−x√n. SOLUZIONI: a) E = [0, +∞), con. unif. su I = [0, M], M > 0. b) E = (−1, 0], con. unif. su I = [a, b],−1 < a < b < 0. c) E = R, con. unif. su I = [−M, M], M > 0. d) E = [0, +∞), con. unif. su I = [M, +∞), M > 0. e) E = R,…