Esercizi su sistemi e geometria lineare

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Testi di esercizi di preparazione alla I prova in itinere Gli esercizi in elenco sono in gran parte tratti da vecchie prove d’esame Esercizio 1 Al variare di k discutere e ove possibile risolvere il sistema lineare Interpretare geometricamente i risultati trovati Soluzione Sottraendo alla terza equazione la prima si trova il sistema equivalente da cui, per sostituzione, si trova il sistema equivalente . Se k=0 il sistema è chiaramente impossibile perché la prima equazione diventa 0=-2. Supponiamo quindi k ≠0. Il sistema è equivalente a ed è dunque possibile e determinato per i valori di k per cui . Da qui si trova 3k 2+k-4=0, cioè k=1 o k= . Per k=1 il sistema ammette l’unica soluzione x=3, y=-2. Per k= il sistema ammette invece l’unica soluzione x=3, y=3/2. Per gli altri valori di k il sistema è impossibile. Se interpretiamo i risultati nel piano, le tre equazioni rappresentano tre rette che appartengono allo stesso fascio quando k=1 o k=-4/3. Nel primo caso il sostegno del fascio è il punto (3,-2), nel secondo è il punto (3,3/2). Per gli altri valori di k le rette non appartengono ad uno stesso fascio. In particolare se k=0 la prima e la terza equazione rappresentano due rette parallele all’asse y e la seconda una retta parallela all’asse x che interseca le prime due, per k= ±2 la prima e la seconda equazione rappresentano due rette parallele e la terza una retta che le interseca entrambe, per k= ± la seconda e la terza equazione rappresentano due rette parallele e la prima una retta che le interseca. Se interpretiamo i risultati nello spazio, le tre equazioni rappresentano tre piani paralleli all’asse z che appartengono allo stesso fascio quando k=1 o k=-4/3. Nel primo caso il sostegno del fascio è la retta di equazioni cartesiane x=3, y=-2, nel secondo è la retta…