Exercise 03 Solution

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MATEMATICA NUMERICA A.A. 2018 - 2019 Ingegneria Matematica Prof. A. Quarteroni Prof. A. Manzoni, Dr. I. Fumagalli Esercitazione 3 - Soluzione Algebra Lineare Esercizio 1 Si consideri la norma matriciale di Frobenius di una matriceA∈ Rn×n, ovvero ∥A∥F = √ n∑ i,j=1 a2 ij. a) Provare che∥·∥ F è effettivamente una norma suRn×n. b) Provare che la norma di Frobenius ècompatibile con la norma euclidea : ∥Ax∥2≤∥ A∥F∥x∥2 ∀x∈ Rn. c) Detta I la matrice identità, si calcoli∥I∥F, e si usi il risultato per dimostrare che pern> 1 la norma ∥·∥ F non è indotta da alcuna norma vettoriale suRn. Soluzione 1 a) Mostriamo che∥·∥ F soddisfa le proprietà richieste dalla definizione di norma. i) Ovviamente ∥A∥F≥ 0∀A∈ Rn×n; inoltre∥A∥F = 0 implica aij = 0 per ognii,j = 1,...,n . ii) Se α∈ R e A∈ Rn×n, si ha ∥αA∥F = √ n∑ i,j=1 α2a2 ij =|α| √ n∑ i,j=1 a2 ij =|α|∥A∥F. iii) Se consideriamo il vettore a∈ Rn2 degli elementiaij di A, abbiamo ovviamente∥A∥F =∥a∥2, ove∥a∥2 è la norma euclidea dia. Dato che per quest’ultima vale la disuguaglianza triangolare ∥a + b∥2≤∥ a∥2 +∥b∥2 in Rn2 , la stessa deve valere anche per la norma di Frobenius. Infatti : ∥A + B∥F = √ n∑ i,j=1 (aij +bij)2 ≤ √ n∑ i,j=1 a2 ij + √ n∑ i,j=1 b2 ij =∥A∥F +∥B∥F. Alternativamente, avremmo potuto utilizzare la disuguaglianza di Cauchy-Schwarz n∑ i,j=1 aijbij≤ √ n∑ i,j=1 a2 ij √ n∑ i,j=1 b2 ij 1 e scrivere n∑ i,j=1 (aij +bij)2 = n∑ i,j=1 a2 ij + n∑ i,j=1 b2 ij + 2 n∑ i,j=1 aijbij ≤ n∑ i,j=1 a2 ij + n∑ i,j=1 b2 ij + 2 √ n∑ i,j=1 a2 ij √ n∑ i,j=1 b2 ij =   √ n∑ i,j=1 a2 ij + √ n∑ i,j=1 b2 ij   2 , da cui la disuguaglianza triangolare per la norma di Frobenius. b) Grazie alla disuguaglianza di Cauchy-Schwarz, si ha ∥Ax∥2 2 = n∑ i=1   n∑ j=1 aijxj   2 ≤ n∑ i=1 n∑ j=1 a2 ij n∑ j=1 x2 j =∥A∥2 F∥x∥2…