Exercise 04 Solution

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MATEMATICA NUMERICA A.A. 2018 - 2019 Ingegneria Matematica Prof. A. Quarteroni Prof. A. Manzoni, Dr. I. Fumagalli Esercitazione 4 - Soluzione Propagazione dell’errore in sistemi lineari Esercizio 1 Si consideri la matrice di HilbertA∈ Rn×n A =   1 1 2 1 3 1 4 ... 1 2 1 3 1 4 ... 1 3 ... ...   , a ij = 1 i +j− 1. a) Calcolare per n = 1, 2,..., 10 la matrice A (scrivendo un’opportuna function Matlab oppure uti- lizzando il comando hilb) e il suo numero di condizionamentoK2(A) mediante il comando cond. Salvare i numeri di condizionamento calcolati in un vettore di 10 componenti. b) Visualizzare su un grafico in scala semilogaritmica (lineare nelle ascisse e logaritmica nelle ordinate) l’andamento di K2(A) in funzione di n, utilizzando il comando semilogy. Dedurre cheK2(A) si comporta comeeαn. c) Si costruisca un vettore colonnaxex unitario din componenti, utilizzando il comandoones e si calcoli il vettore b = A xex. Per ognin = 1, 2,..., 10, si risolva, quindi, il sistema lineareAx = b mediante il comando\ e si calcoli l’errore relativoεr = ∥x−xex∥ ∥xex∥ . Si visualizzi tale errore su un grafico in scala semilogaritmica e si deduca che esso ha lo stesso comportamento del numero di condizionamento diA. d) Si mostri numericamente che il rapporto tra εr e K2(A), per ogni n = 1 , 2,..., 10, è dell’ordine dell’unità diround-off. e) Definito ilresiduo r = b− Ax, vale la seguente stimaa posterioridi εr : ∥x− xex∥ ∥xex∥ ≤K(A)∥r∥ ∥b∥. (1) Per ognin = 1, 2,..., 10, si calcoli la norma del residuo∥r∥ e del residuo relativo∥r∥/∥b∥. Si noti che il residuo r non è esattamente nullo, a causa degli errori diround-off. f) Si verifichi che la norma del residuo ottenuta è dell’ordine dell’unità diround-off per ognin. g) Si verifichi la stima a posteriori (1). h) Si giustifichino i…