Exercise 05

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MATEMATICA NUMERICA A.A. 2018 - 2019 Ingegneria Matematica Prof. A. Quarteroni Prof. A. Manzoni, Dr. I. Fumagalli Esercitazione 5 Metodi diretti per sistemi lineari Esercizio 1 (P) A partire dai modelli di main file e datafile Eser05_AdvectionDiffusion_template.m e Eser05_AdvectionDiffusion_data_template.m, implementare in PoliFEM la soluzione del seguente pro- blema di diffusione e trasporto, usando elementi finiti lineari : { − (µu′)′ +βu′ = 0, 0<x< 1, u(0) = 0, u(1) = uD, dopo averne calcolato analiticamente la soluzione esatta nel casoµ,β costanti euD = 1. a) Nella creazione del datafile, si considerino i coefficienti di diffusione e trasporto e il dato di Dirichlet uD come parametri costanti, che sono forniti dal main al solutoreElliptic1D_Solver come ultimo argomento. b) Nel main file, risolvere il problema perµ = 1,β = 1,u D = 1, conN = 8 elementi. c) Modificare il main file in modo da visualizzare la soluzione approssimata al variare diN = 2 3, 24, 25, doveN indica il numero di elementi della partizione definita su(0, 1), e valutare graficamente l’ordine di convergenza del metodo, sia in normaL2, sia in normaH 1. Esercizio 2 Si considerino le matrici A =   50 1 3 1 6 0 3 0 1  , B =   50 1 10 3 20 1 10 4 70  , C =   7 8 9 5 4 3 1 2 6  . (1) a) Si verifichi, utilizzando Matlab, se le matriciA,B eC soddisfano le condizioni sufficienti ed eventual- mente necessarie e sufficienti per l’esistenza e l’unicità della fattorizzazione LU. b) Scrivere una funzione[L,U]=lugauss(M) che, data in ingresso una matrice quadrataM∈ Rn×n, determini i fattoriL e U tali cheLU =M. c) Utilizzare la funzionelugauss per fattorizzare le matriciA, B, eC. d) Scrivere una funzione fwsub.m che, dati in ingresso una matrice triangolare inferioreL∈ Rn×n e un vettore f∈ Rn, restituisca in uscita il…