Exercise 07

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MATEMATICA NUMERICA A.A. 2018 - 2019 Ingegneria Matematica Prof. A. Quarteroni Prof. A. Manzoni, Dr. I. Fumagalli Esercitazione 7 Sistemi sovradeterminati e Metodi iterativi per sistemi lineari (1) Esercizio 1 Sia data la seguente matrice che possiede rango pieno per ogniϵ> 0 A =   1 1 ϵ 0 0 ϵ  , e i vettori xex = [1, 1]T e b = A xex. Vogliamo calcolare x, la soluzione del seguente problema ai minimi quadrati ∥Ax− b∥2 2 = min y∈R2 ∥Ay− b∥2 2, benché sappiamo che la soluzione esatta di tale problema è propriox = xex. a) Perϵ = 10−i, i= 1, 2, 3, 4 calcolare x = x1 risolvendo il sistema delle equazioni normali ovvero AT Ax1 = AT b. Per ogni valore diϵ, calcolare l’errore∥x1− xex∥2 e visualizzarlo in funzione diϵ su un grafico in scala logaritmica, insieme all’andamento del numero di condizionamentoK2(AT A). b) Per gli stessi valori diϵ del punto precedente, calcolarex = x2 sfruttando la fattorizzazione˜Q ˜R ridotta di A, ovvero applicando la relazione, x2 = ˜R−1 ˜QT b. Le matrici ˜Q ed ˜R tali che A = ˜Q ˜R si ricavano in Matlab attraverso il comando[Q,R]= qr(A,0). Calcolare l’errore∥x2− xex∥2 e visualizzarlo in scala logaritmica sul grafico precedente. Che cosa si osserva? Esercizio 2 Si consideri il sistema lineareAx = b dove la matriceA è definita da A =   2 −1 0 −1 2 −1 0 −1 2   e b =   1 0 1  . Si consideri ora il seguente metodo iterativo : Lx(k+1) = Lx(k) +δ(b− Ax(k)), k ≥ 0, (1) doveδ >0 è un parametro reale e positivo eL è la parte triangolare inferiore diA : L =   2 0 0 −1 2 0 0 −1 2  . 1 a) Verificare se il metodo (1) è consistente. b) Riscrivere il metodo (1) nella formax(k+1) = Bδx(k) + zδ,k≥ 0, esplicitando la matriceBδ. Stabilire per quali valori del parametro realeδ >0 il metodo (1) converge. c) Determinare il parametro di convergenza…