Exercise 07 Solution

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MATEMATICA NUMERICA A.A. 2018 - 2019 Ingegneria Matematica Prof. A. Quarteroni Prof. A. Manzoni, Dr. I. Fumagalli Esercitazione 7 - Soluzione Sistemi sovradeterminati e Metodi iterativi per sistemi lineari (1) Esercizio 1 Sia data la seguente matrice che possiede rango pieno per ogniϵ> 0 A =   1 1 ϵ 0 0 ϵ  , e i vettori xex = [1, 1]T e b = A xex. Vogliamo calcolare x, la soluzione del seguente problema ai minimi quadrati ∥Ax− b∥2 2 = min y∈R2 ∥Ay− b∥2 2, benché sappiamo che la soluzione esatta di tale problema è propriox = xex. a) Perϵ = 10−i, i= 1, 2, 3, 4 calcolare x = x1 risolvendo il sistema delle equazioni normali ovvero AT Ax1 = AT b. Per ogni valore diϵ, calcolare l’errore∥x1− xex∥2 e visualizzarlo in funzione diϵ su un grafico in scala logaritmica, insieme all’andamento del numero di condizionamentoK2(AT A). b) Per gli stessi valori diϵ del punto precedente, calcolarex = x2 sfruttando la fattorizzazione˜Q ˜R ridotta di A, ovvero applicando la relazione, x2 = ˜R−1 ˜QT b. Le matrici ˜Q ed ˜R tali che A = ˜Q ˜R si ricavano in Matlab attraverso il comando[Q,R]= qr(A,0). Calcolare l’errore∥x2− xex∥2 e visualizzarlo in scala logaritmica sul grafico precedente. Che cosa si osserva? Soluzione 1 Attraverso i seguenti comandi Matlab, risolviamo il problema ai minimi quadrati sia attraverso il metodo delle equazioni normali, sia attraverso la fattorizzazione˜Q ˜R. Infine, tracciamo il grafico degli errori∥x1− xex∥2 e ∥x2− xex∥2 in funzione diϵ. for i = 1:4 a(i) = 10^(-i); A = [1 1; a(i) 0; 0 a(i)]; AA = A'*A; xex = [1 1]'; b = A*xex; % soluzione attraverso le equazioni normali K(i) = cond(AA); bb = A'*b; x1 = AA\(A')*b; err1(i) = norm(xex-x1); % soluzione attraverso la fattorizzazione QR [Q,R] = qr(A,0); x2 = R \ (Q'*b); 1 err2(i)=norm(xex-x2); end figure;…