Exercise 13 Solution

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MATEMATICA NUMERICA A.A. 2018 - 2019 Ingegneria Matematica Prof. A. Quarteroni Prof. A. Manzoni, Dr. I. Fumagalli Esercitazione 13 - Soluzione Problemi nonlineari – Interpolazione polinomiale Esercizio 1 Si consideri il seguente problema ai limiti, per un dato valore diα≥ 0 : { −u′′ +αu3 =f(x), x ∈ (0, 1), u(0) = 0, u (1) = 0. (1) Sia f(x) = 2 + αx3(1− x)3. Con tale definizione di f(x), la soluzione esatta del problema risulta uex(x) =x(1−x). Supponiamo di voler approssimare tale soluzione con il metodo degli elementi finiti. La formulazione debole del problema (1) risulta data da : trovareu∈H 1 0(0, 1) tale che a(u,v ) +α ∫ 1 0 u3v =F (v) ∀v∈V dove a(u,v ) = ∫ 1 0 u′v′dx, F (v) = ∫ 1 0 fvdx. Si consideri una partizione dell’intervallo(0, 1) in N = 100 elementi, si introduca lo spazioVh = X 1 h∩V degli elementi finiti lineari, indicando con{ϕi}N i=1 una sua base associata ai nodi0 =x0 <x 1 <...<x N < xN +1 = 1. Il problema discretizzato risulta : trovareuh∈Vh tale che a(uh,v h) +α ∫ 1 0 u3 hvh =F (vh) ∀vh∈Vh. Algebricamente, tale problema è equivalente al seguente sistema diN equazioni non lineari inN incognite : Au +αg(u) = f (2) dove u = (u1,...,u N)T indica il vettore delle incognite (valori nodali diuh(x) = ∑N j=1ujϕj(x)), e per i,j = 1,...,N , Aij =a(ϕj,ϕ i), f i =F (ϕi), g i(u) = ∫ 1 0 u3 hϕidx. In maniera equivalente, il problema (2) può essere riscritto come G(u) =Au +αg(u)− f = 0. Siamo interessati a risolvere il sistema non lineare (2) con il seguente metodo di punto fisso : Au(k+1) = f−αg(u(k)). In modo equivalente, u(k+1) = Φ(u(k)) =A−1(f−αg(u(k))). 1 a) Prendendo spunto dalle precedenti esercitazioni, costruire un data file per il problema lineare { −u′′ =f(x), x ∈ (0, 1), u(0) = 0, u (1) = 0. (3) Si consideriα come unico parametro variabile. b)…