Exercise 16

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MATEMATICA NUMERICA A.A. 2018 - 2019 Ingegneria Matematica Prof. A. Quarteroni Prof. A. Manzoni, Dr. I. Fumagalli Esercitazione 16 Equazioni differenziali ordinarie Esercizio 1 Sia dato il seguente problema di Cauchy { y′(t) = f (t,y (t)), t ∈ (t0,t 0 +T ], y(t0) = y0, (1) con f (t,y ) funzione sufficientemente regolare. Dimostrare che il metodo di Heun è consistente di ordine 2. Esercizio 2 Per l’approssimazione numerica del generico problema di Cauchy (1) si consideri il seguente metodo : dato u0 =y0, pern≥ 0    un+1/2 =un + h 2f (tn,u n), pn =f (tn + h 2,u n+1/2), un+1 =un +hpn. (2) Il metodo (2) è esplicito o implicito? Studiarne consistenza, ordine e convergenza. Esercizio 3 Si consideri il problema di Cauchy { y′(t) = −2y(t) + 2e−t√ y(t), t ∈ [1, 3] y(1) = e−2 la cui soluzione esattay(t) è una funzione positiva decrescente. a) Scrivere i metodi di Eulero in avanti e di Eulero all’indietro per approssimare la soluzioney(t) del problema di Cauchy dato. Qual è l’ordine dei due metodi? b) Determinare per quali valori dih la condizione di stabilità assoluta per il metodo di Eulero in avanti è soddisfatta, sapendo che √ y(t)>e−t/2. c) Riscrivere il metodo di Eulero all’indietro sotto la forma un+1 =φ(un+1;h,t n,u n) e scrivere il metodo delle iterazioni di punto fisso per risolvere questa equazione. Per quali valori dih il metodo delle iterazioni di punto fisso risulta convergente? 1 Esercizio 4 La stabilità assoluta garantisce il controllo delle perturbazioni sui tempi lunghi. Per mostrare tale risultato nel caso del metodo di Eulero in avanti, { un+1 =un +hf (tn,u n), n ≥ 0, u0 =y0 (3) possiamo introdurre il seguente metodo perturbato : { zn+1 =zn +h(f (tn,z n) +ρn+1), n ≥ 0, z0 =y0 +ρ0, (4) doveρ0,ρ 1,... sono perturbazioni introdotte ad ogni time-step, che…