Exercise 17 Solution

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MATEMATICA NUMERICA A.A. 2018 - 2019 Ingegneria Matematica Prof. A. Quarteroni Prof. A. Manzoni, Dr. I. Fumagalli Esercitazione 17 - Soluzione Equazioni differenziali ordinarie (2) Esercizio 1 Si consideri il problema di Cauchy { y′(t) =f(t,y ) =ty(t)2 t0 <t ≤tmax y(t0) =−2 (1) La soluzione esatta di tale problema, nell’intervallo limitatot∈ [0, 3] è y(t) =− 2 t2 + 1. a) Scrivere la function eulero_avanti che implementa il metodo di Eulero in avanti per la risoluzione di un generico problema di Cauchy. La funzione eulero_avanti riceve in ingresso : — la funzione f(t,y ) definita come anonymous function (tramite il comando@). Si noti chef è una funzione di due variabili; — gli estremi t0 e tmax dell’intervallo di definizione; — il dato inizialey0; — il passo di avanzamento temporaleh. La funzione eulero_avanti restituisce il vettoreth degli istanti temporali discreti e il vettoreuh dei valori della corrispondente soluzione approssimata. L’intestazione dieulero_avanti sarà quindi : function [th,uh]=eulero_avanti(f,t_0,t_max,y0,h) b) Utilizzando la function appena scritta, risolvere il problema (1) con il metodo di Eulero in avanti, scegliendo per i valori del passo temporaleh1 = 3/6 eh2 = 3/20. Rappresentare sullo stesso grafico le soluzioni numeriche ottenute e confrontarle con la soluzione esatta. c) Scriverelafunction eulero_indietrocheimplementailmetododiEuleroall’indietroperlarisoluzione di un generico problema di Cauchy, con intestazione function [th,uh,iter_pf]=eulero_indietro(f,t_0,t_max,y0,h); La funzione eulero_indietro restituisce il vettoreth degli istanti temporali discreti e il vettoreuh dei valori della corrispondente soluzione approssimata. Ad ogni passo temporale, il calcolo di un+1 =un +hf(tn+1,un+1) richiede la soluzione di un’equazione non lineare tramite…