Exercise 18 Solution

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MATEMATICA NUMERICA A.A. 2018 - 2019 Ingegneria Matematica Prof. A. Quarteroni Prof. A. Manzoni, Dr. I. Fumagalli Esercitazione 18 - Soluzione Sistemi di equazioni differenziali ordinarie Esercizio 1 Si consideri il problema di Cauchy { y′(t) = −2y(t) + 2e−t√ y(t), t ∈ [1, 3] y(1) = e−2 la cui soluzione esattay(t) è una funzione positiva decrescente. a) Scrivere i metodi di Eulero in avanti e di Eulero all’indietro per approssimare la soluzioney(t) del problema di Cauchy dato. Qual è l’ordine dei due metodi? b) Determinare per quali valori dih la condizione di stabilità assoluta per il metodo di Eulero in avanti è soddisfatta, sapendo che √ y(t)>e−t/2. c) Riscrivere il metodo di Eulero all’indietro sotto la forma un+1 =φ(un+1;h,tn,un) e scrivere il metodo delle iterazioni di punto fisso per risolvere questa equazione. Per quali valori dih il metodo delle iterazioni di punto fisso risulta convergente? Soluzione 1 a) Con la notazione usuale, gli schemi di Eulero in avanti (EA) e di Eulero all’indietro (EI) per il problema di Cauchy { y′(t) = −2y(t) + 2e−t√ y(t), t ∈ [1, 3] y(1) = e−2 sono dati da un+1 =un +hfn (EA) un+1 =un +hfn+1 (EI) (1) dovefn =f(tn,yn), conf(t,y ) =−2y(t) + 2e−t√ y(t). I due schemi sono entrambi di ordine 1. b) La condizione di stabilità assoluta per il metodo di Eulero in avanti nel caso in cui∂f ∂y (t,y (t)) < 0 ∀t∈ [1, 3] è data da h< 2 λmax dove 0<λ min <λ max <∞ sono tali che −λmax < ∂f ∂y (t,y (t))<−λmin ∀t∈ [1, 3]. Nel caso in esame, abbiamo che λ(t) = ∂f ∂y (t,y (t)) =−2 + e−t √ y(t) . 1 Poiché √ y(t)>e−t/2, la condizione∂f ∂y (t,y (t))< 0 è soddisfatta. Inoltre, max t∈[1,3] ⏐⏐⏐⏐⏐−2 + e−t √ y(t) ⏐⏐⏐⏐⏐ = max t∈[1,3] ( 2− e−t √ y(t) ) < 2 e quindi possiamo prendere, ad esempio,λmax = 2. Troviamo infine la seguente condizione suh : h< 2…