Exercise 19

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MATEMATICA NUMERICA A.A. 2018 - 2019 Ingegneria Matematica Prof. A. Quarteroni Prof. A. Manzoni, Dr. I. Fumagalli Esercitazione 19 Metodi multipasso per eq. diff. ordinarie Esercizio 1 Si consideri il seguente metodo a più passi lineare un+1 = (α2 3 + α 2 ) un + (2 3α2 + α 2− 1 ) un−1 +h [( 2− α2 6 − α 4 ) fn + ( −α2 6 − α 4 ) fn−1 ] (1) doveα è un parametro reale. Studiarne consistenza, ordine, stabilità e convergenza in funzione diα. Esercizio 2 Si vuole costruire ed implementare un metodo a 2 passi lineare, esplicito, e di ordine massimo. a) Scrivere la generica formulazione di un metodo a 2 passi lineare esplicito. Quanti parametri liberi vi sono a disposizione? Scrivere le condizioni algebriche tali che il metodo risulticonsistente di ordine q≥ 1. Quale sarebbe il massimo ordine di consistenzaqcons ottenibile con i parametri a disposizione? Trovare tali parametri (usare Matlab per effettuare i calcoli). b) Scrivere le condizioni affinché il metodo in esame siazero-stabile. Quanti vincoli introduce tale condi- zione? Qual è il massimo ordineqconv di convergenza ottenibile con i parametri a disposizione? c) Supponendo di considerare il caso limite in cui il criterio delle radici sia verificato con tutte le radici caratteristiche sul bordo del cerchio unitario, si derivino i valori dei coefficienti del metodo corrispon- dente. d) Si scriva uno script Matlab che implementi il metodo ottenuto in c) e che calcoli l’errore Eh = max n=0,...,Nh |y(tn)−un|, applicato al problema di Cauchy seguente (la cui soluzione esatta èy(t) = 1 t+1 + 1), { y′ =−(y− 1)2, t ∈ [0, 1], y(0) = 2. Si inizializzi il metodo con i valori della soluzione esatta, e si calcoli l’errore perh = h0, h = h0/2, h =h0/4 (conh0 = 0.01) verificando che l’ordine di convergenza è quello atteso. Si verifichi anche che…