Exercise 20 Solution

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MATEMATICA NUMERICA A.A. 2018 - 2019 Ingegneria Matematica Prof. A. Quarteroni Prof. A. Manzoni, Dr. I. Fumagalli Esercitazione 20 - Soluzione Metodi multipasso (2) e multistadio per eq. diff. ordinarie Esercizio 1 a) Ricavare il metodo AB2 di Adams-Bashforth ap + 1 = 2 passi per l’approssimazione numerica del generico problema di Cauchy { y′(t) = f(t, y(t)), t > 0, y(0) = y0. In particolare, siah > 0 il passo di tempo, eun una approssimazione diy(tn) al tempo tn = nh. Detto πp∈ Pp il polinomio che interpola i valorifn−j = f(tn−j, un−j) nei noditn−j, j = 0, . . . , p, si imponga un+1 = un + ∫ tn+1 tn πp(x) dx. Si verifichi che lo schema così costruito risulta scritto nella forma seguente : un+1 = un + h 2 [3fn− fn−1] . b) Studiare l’ordine e la zero-stabilità del metodo AB2. Si verifichi in Matlab, mediante la funzione qssmultistep, l’ordine di convergenza considerando il problema { y′(t) =−(y(t)− 1)2, t ∈ (0, 10), y(0) = 2, (1) la cui soluzione esatta èy(t) = 1 + 1/(t + 1), e calcolando perh = [2−6, 2−7, 2−8] l’errore di appros- simazione Eh = max n=1,...,Nh |un− y(tn)|, ove tn = nh, Nh = 10/h. Per semplicità, si utilizzi la soluzione esatta per fornire i valori iniziali al metodo AB2. c) Si visualizzi la regione di assoluta stabilità del metodo AB2 utilizzando il comandoqssstabreg. Si determini quindi il valore del passo di discretizzazioneh0 tale che il metodo AB2 risulti assoluta- mente stabile per ogni0 < h < h 0 considerando il problema { y′(t) =−10y(t), t > 0, y(0) = 1. Riportare l’andamento della soluzione numerica assieme alla soluzione esatta nei due casih = 1.1h0, h = 0.5h0, commentando i risultati. Soluzione 1 a) Nel nostro casop = 1; il polinomio di grado 1 che interpola i dati(tn−1, fn−1) e (tn, fn) si scrive π1(x) = fn−1 tn− x h + fn x− tn−1 h . 1 Essendo…