Exercises 2018

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Analisi Matematica II. Ingegneria Matematica. DIARIO DELLE ESERCITAZIONI A.A. 2018/2019 (Prof. G. Arioli, Dott. N. Potrich) CURVE ED INTEGRALI DI LINEA IN R2 e R3 Esercizio 1. Scrivere una rappresentazione parametrica delle seguenti curve: a) γ1 : ramo di parabola y =x2− 1 percorso dal punto (−2, 3) al punto (4, 15); b) γ2 : x2 a2 + y2 b2 = 1 percorsa una sola volta in senso antiorario a partire dal punto ( a, 0), con a> 0; c) γ3 : segmento da A = (1, 2, 5) B = (3, 1, 0); d) γ4 : ρ =kθ, θ∈ [0, 4π] (spirale di Archimede); e) γ5 : intersezione tra il piano π : 5x− 2y +z = 4 e il cilindro C :x2 +y2 = 1. Esercizio 2. Stabilire se ciascuna delle seguenti curve ` e chiusa, semplice, piana e/o regolare: a) γ1 :ϕ1(t) = (t, 2t,t 2), t∈ [0, 4]; b) γ2 :ϕ2(t) = (t2 Sht,e−t2 ), t∈ R; c) γ3 :ϕ3(t) = (cost,π−|t|, sint), t∈ [−π,π ]; Esercizio 3. Sia γ la curva parametrizzata da ϕ(t) = (e2t, 2et,t ), t ∈ [0, 1]. i) Calcolare il vettore velocit` a e la velocit` a scalare. ii) Determinare l’equazione della retta tangente alla curva nel punto P = (1, 2, 0). iii) Determinare l’accelerazione vettoriale, mettendone in evidenza la componente normale e la componente tangen- ziale in ogni punto e calcolare l’accelerazione scalare. Esercizio 4. Sia γ l’elica cilindrica, parametrizzata da ϕ(t) = (r cost,r sint,ht ), t ∈ [0, 2π] ( r,h> 0 fissati). i) Determinare la terna fondamentale in ogni punto. ii) Calcolare curvatura e torsione in ogni punto. Esercizio 5. Mostrare che ciascuna delle seguenti curve ` e rettificabile e calcolarne la lunghezza: a) γ1 :ϕ1(t) = (cos3t, sin3t), t∈ [0, 2π] (astroide); b) γ2 :ϕ2(t) = { (cost, sint) t∈ [0,π ] (t−π− 1, 0) t∈ [π, 2π]; c) γ3 :ϕ3(t) = (t, 2t,−t2), t∈ [1, 2]. Esercizio 6. Sia γ la curva parametrizzata da ϕ(t) = (et,e−t, √ 2t), t ∈ R. TrovareT∈ R tale che il…