Exercises

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SOLUZIONI DI ALCUNI PROBLEMI DELL'ESERCIZIARIO DI ST A TISTICA PER GLI ALLIEVI ING INF E TEL (A.A. 2008/09) DI ILENIA EPIF ANI ALESSANDRO TOIGO 1. Esercizio 1.3.1 Sia X1; X2; : : : ; Xn un campione casuale da N (4:2; 4) e sia ¯X la media campio- naria. 1. Calcolate P ( | ¯X − 4:2| ≤ 0:3 ) , con n = 4 e n = 25 e confrontate i risultati. X1; X2; : : : ; Xn sono variabili aleatorie i.i.d. con legge Xi ∼ N (; 2), con  = 4:2, 2 = 4. La loro media campionaria ` e ¯X = X1 + X2 + · · · + Xn n In particolare, ¯X −  =√n = √n( ¯X − 4:2) 2 ∼ N (0; 1): Perci` o P ( | ¯X − 4:2| ≤ 0:3 ) = P ( √n( ¯X − 4:2) 2 ≤ 0:3 √n 2 ) = P (√n( ¯X − 4:2) 2 ≤ 0:3 √n 2 ) − P (√n( ¯X − 4:2) 2 ≤ −0:3 √n 2 ) = Φ(0:15√n) − Φ(−0:15√n) = Φ(0 :15√n) − (1 − Φ(0:15√n)) = 2Φ(0:15√n) − 1: Se n = 4, dalle tavole della normale: P ( | ¯X − 4:2| ≤ 0:3 ) = 2Φ(0 :3) − 1 = 2 × 0:61791 − 1 = 0 :23582: Allo stesso modo, se n = 25 P ( | ¯X − 4:2| ≤ 0:3 ) = 2Φ(0 :75) − 1 = 2 × 0:77337 − 1 = 0 :54674: Osserviamo che all’aumentare della numerosit` a n del campione aumenta la proba- bilit` a che la media campionaria ¯X sia concentrata in un intorno della media reale  di raggio fissato. 2. Per quali valori di n P ( | ¯X − 4:2| ≤ 0:3 ) ≥ 0:8? Per quanto visto prima, P ( | ¯X − 4:2| ≤ 0:3 ) ≥ 0:8 ⇐ ⇒2Φ(0:15√n) − 1 ≥ 0:8 ⇐ ⇒Φ(0:15√n) ≥ 0:9: Date: 9/12/2010. 1 2 SOLUZIONI Dalle tavole si ricava 0:15√n ≥ 1:28 ⇐ ⇒n ≥ 72:818: Poich´ en ` e intero, deve quindi essere n ≥ 73: 2. Esercizio 1.3.2 (con un punto aggiunto) Sia X ∼ Γ(4; 5) e Y = 1=X. 1. Determinate il quantile di ordine 5% della fdr di X. Ricordiamo che per “quantile di ordine 0 ≤ ≤ 1 della v.a. X” si intende quel numero reale x ∈ R tale che P (X ≤ x ) = . Inoltre, i quantili di ordine di una v.a. C 2 n ∼ Γ(n=2; 1=2) = 2 n sono tabulati per alcuni valori di , e si…