Fac simile di prova desame

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MATEMATICA NUMERICA A.A. 2018 - 2019 Ingegneria Matematica Prof. A. Quarteroni Prof. A. Manzoni, Dr. I. Fumagalli Fac-simile di prova d’esame Esercizio 1 Si consideri un sistema lineare caratterizzato dalla seguente matrice : A =   20 2 3 0 α 1 0 0 β 0 1 0 0 0 0 γ  . a) Si dica per quali scelte dei parametri il sistema si può risolvere con il metodo delle sostituzioni all’in- dietro. b) Si dica per quali scelte dei parametri esiste la fattorizzazione LU di Gauss della matriceA. c) SiindichinocondizionisufficientisuiparametriaffinchèimetodidiJacobiediGauss-Seidelconvergono. d) Quali condizioni deve verificare la matriceA affinché il metodo del gradiente si possa applicare? Quali scelte dei parametri ¯α, ¯β, ¯γ garantiscono che tali condizioni sono soddisfatte? Se necessario, usare Matlab per motivare la vostra risposta. e) Prendendo i valori di ¯α e ¯β trovati al punto d), e posto¯γ = 1, si applichi il metodo del gradiente coniugato precondizionato scegliendo b =Axex, xex = [1 1 1 1] T e come matrice di precondizionamentoP =D, dove Dii = (A)ii, D ij = 0 ∀i,j = 1,..., 4, i̸=j. Si calcoli il numero minimo di iterazionikmin necessarie affinché ∥e(k)∥A ∥e(0)∥A ≤ 10−3 dove e(k) è l’errore al passok, e∥·∥ A indica la norma dell’energia. f) Usare infine la funzione pcg di Matlab per risolvere il sistema lineare compiendokmin iterazioni e riportare l’errore relativo ottenuto dal metodo all’iterazionekmin. Si noti che la funzionepcg utilizza x(0) = 0 come condizione iniziale. 1 Esercizio 2 a) Si definisca il polinomio interpolante di LagrangeΠnf(x) di una generica funzionef(x) inn + 1nodi distinti{xi}n 0=1. b) Si consideri la funzione f(x) = 1 + 1 3x3 + 1 2 sin(πx ) sull’intervalloI = [−1, 1]. Determinare con Matlab il polinomio interpolanteΠnf(x) di gradon = 4 nei nodi di…